大道至简——讲述一个我们应知而未知的黎曼（《黎曼全集》(两卷本) 中文版序）（黎曼
作者 |季理真, 丘成桐
译者 | 徐浩, 楼筱静
1. 导引 2
2. 数学是什么 3
3. 什么是好的和伟大的数学 7
4. 黎曼的生平、教育与学术生涯 14
5. 黎曼数学生涯中的重要人物 18
6. 黎曼工作的一些特征 20
7. 黎曼的计算能力 20
8. 黎曼发表的文章和涵盖的课题 21
9. 黎曼工作概述一: 他最好的工作 26
10. 黎曼工作概述二: 一些不为人熟知或未知的工作 29
11. 从《黎曼全集》的前言和他人的评述看黎曼工作的影响 31
12. 从杰出数学家们的原则来看历史上最伟大的数学家 35
13. 阅读《黎曼全集》的收获 40
参考文献 41
致谢 43
大道至简源自老子的道家思想. 道, 即理论. 大道至简的含义就是最高深的理论其实是最朴素的道理. 繁华落尽, 唯有至简方能久远. 就如读书, 初读从简到繁, 再读从繁到简, 直至了然于胸. 虽然黎曼的贡献遍及几乎所有数学领域, 但他在短暂的一生中未来得及系统地发展他的所有理论. 他的文章中看似简单的概念和哲学, 背后却是深刻的思考和厚重的计算. 这也解释了为何他的思想能够历经百年而弥新, 跨越学科影响不减. 大道至简是黎曼的写照, 无论是他的数学, 还是他的一生. —— 译者注
1. 导引
黎曼是有史以来最伟大的数学家之一. 他英年早逝 (1826—1866), 一生中只发表了 9 篇论文. 但是自他的博士论文“单复变量函数一般理论基础”起, 他的工作对许多数学分支产生了巨大的影响.
大多数数学家, 特别是读过《黎曼全集》的学者们, 会同意一个看法. 那就是在伟大的数学家中, 黎曼的洞察力、原创性和深度都独树一帜. 他的名字命名了数学中的许多重要概念和定理. 比如, 学过微积分的学生都知道黎曼积分, 几何学家和物理学家大都熟悉黎曼几何. 对大众而言, 最著名的莫过于关于黎曼 zeta 函数零点的黎曼猜想. 黎曼还有许多并不为人熟知的故事. 我们出版这本包含黎曼的文章及相关评述的全集的目的是, 全景式地展现他的工作和对数学发展的影响. 特别地, 正如文章标题所述, 我们希望回答: 什么是我们应知而未知的黎曼. 也许本文的另一个标题可以是: 不朽的数学家黎曼的那些被忘却的故事.
当然, 我们出版《黎曼全集》的中文版一个更重要的原因是, 黎曼工作中所蕴含的丰富思想即使历经一个多世纪的挖掘, 仍未枯竭, 给人以新的启迪和挑战. 事实上, 人类历史上涌现出许多伟大的数学家. 但是很少有人的工作能够像黎曼那样在 150 多年后, 仍然为后来者提供灵感源泉, 并被不断地加以研究. 在 1990 年出版的《黎曼全集》的前言中, Narasimhan 写道:
黎曼的数学具有惊人的永恒魅力. 他的工作在许多领域中, 被人们从各种角度加以分析、加强和推广, 但是他的大部分成果经受住了岁月的洗礼和新观点的审视. 这不是说, 人们没有发现新的观点, 而只是说黎曼原创的方式方法从未被完全替代.
一个自然的问题是: 与许多历史上早已湮灭或被淡忘的数学工作相比, 为何有的数学可以代代流传. 许多学者撰文探讨过什么是好的数学应该具有的品质. 这些文章对于正在规划自己未来的青年数学人是很有价值的参考. 选择正确的研究方向和好问题的品位非常重要. 看待众多学者有关好的数学的演讲或文章, 很重要也很有意义的一点是, 将他们的准则付诸于那些数学中公认的杰出成果来加以检验. 也许很少有人做过这方面的实践. 不过大多数人会同意黎曼也许是最佳的选择之一. 放眼整个数学史, 黎曼也许是最值得系统研究的数学家.
我们首先总结几位著名数学家对于什么是好的数学和好的研究的观点和看法, 接下来讨论黎曼和他的工作, 以此为例检验这些观点. 我们希望了解黎曼如何成为黎曼, 希望读者能够从黎曼的生平, 特别是他的论文中收获启示. 正如 Abel 的名言: “向大师们而不是他们的学生学习.”
值得注意的是, 黎曼的文章往往很简练, 要理解每处细节和体会其深刻思想并不容易. 所以, 后人的解释和评论会有助于更好理解黎曼的工作. 我们收录了各个版本的《黎曼全集》的序言和关于黎曼工作的多方评论. 由此可以比较不同时期人们对于黎曼工作的认识.
2. 数学是什么
在我们理解和回答前文中提到关于黎曼的问题前, 可能需要先理解什么是好的或伟大的数学. 就像定义“美”一样, 很难具体去定义伟大的数学, 但是只要一见到它人们就能认出它来. 另一方面来说, 每一个数学家都有自己的观点和标准, 有些勇于将他们的想法明确地写下来. 在这一节里, 我们将引用一些著名数学家关于什么是好的数学的论述.
可能会让读者惊讶的是“什么是数学?”这个更基础的问题也不是那么容易回答. 标准的回答, 举例来说,《牛津词典》对数学的定义是: 关于数、量、空间的抽象科学或抽象定义 (纯数学), 或者其在其他学科的应用 (应用数学). 这个定 义没错, 但是它并没有完全表达数学的精神.
实际上, 如 Atiyah [At1, p. 25] 所写的那样:
数学的第一特性就是很难去描述或定义它的主体或内容 ······
一个可能的答案是, 数学是一种用来解决 “问题” 的想法和知识技术的集合. 这个回答可能不够理想, 因为它引出了另一个问题, “什么样的问题?” 尽管如此, 数学的本质是数学问题的雏形可能出现在任何领域里: 不是内容, 而是形式很重 要. 在任何情况下, 无论这是否是一个令人信服的答案, 不可否认的是, 解决问题 的方法一直在数学史上扮演着基本的角色 ······
一个问题本身可能就具有根本的重要性, 是学科领域进一步发展必须克服 的障碍. 一个 “好” 问题的真正标准是人们在解决它的过程中能够产生具有广泛 用途的强有力的新技术.
Shafarevich 在《代数基本概念》[Sha] 一书的前言中写道:
对于 “数学研究的是什么?” 这个问题的回答,“结构”或是“特定关系的集合”很难让人满意.在无数的可以想象的结构或特定关系的集合中, 数学家只对其中很小部分的离散子集感兴趣, 问题的关键是理解散布在无穷大块中的这一小部分的特殊价值.
Borel 在《数学: 艺术与科学》[Bo] 一文中写道:
首先, 对于一个数学家来说, 很自然地更愿意做纯粹的数学报告, 而非空谈数学哲理······各位在场的数学家造成的困难, 是让我意识到, 甚至是痛苦地意识到, 实际上我讨论的所有课题都已经被提到过, 所有的论证都已经被提出并讨论. 数学只是一门艺术, 或者一门科学, 科学的皇后, 仅仅是科学的仆人, 或者是艺术与科学的结合······数学家往往致力于寻找一般性的解. 他们喜欢用一般的公式来解决很多特殊问题. 这可以被称为经济的想法或懒惰······通常人们关于数学的概念可以总结如下: 一方面, 它是一门科学, 因为它的主要目标是服务于自然科学和技术. 这实际上是数学的起源, 也是数学问题永不枯竭的源泉. 另一方面, 它又是一门艺术, 因为它主要是思想创造的产物, 它的进步是人类智慧的胜利, 来自人类思想的深入发展, 审美原则是最终的评价标准. 但这种在纯思想世界中的智力活动也需受制于其在自然科学中的应用.不过这种观点实在太狭隘了, 尤其是最终的这句限制太大, 许多数学家坚持数学研究应毫无拘束······数学在很大程度上, 是一项集体的事业. 简化和统一保持了无止境的发展和扩张之间的平衡; 它们一次又一次地展现出精彩绝伦的统一, 即使庞大的数学难以为个体所驾驭······
在本文标题中 “科学” 这个词有着更广泛的含义: 它不仅指自然科学, 在更大的范围内, 数学的概念是一门实验和理论的科学. 我想要大胆地说, 作为一门思想的自然科学, 作为一门关于智慧的自然科学, 它的研究对象和模式都是思想的产物······
如果不想将在自然科学中的应用作为一个评价标准, 那也不能够仅仅回到知识的优雅上. 实践性的准则依然存在, 即数学本身的实用性. 考虑到数学的这个现实性, 公开问题, 结构, 在不同领域中的需要和联系, 已经表现出了卓有成效的、具有价值的方向, 让数学家来自己定位, 并将相关的价值附加到问题及理论上. 通常测试一个新理论是否有价值的方法就是看它是否能够解决经典的问题······数学家的天赋之一就是能够自然地被好的问题所吸引. 也就是那些后来显示出重要性的问题, 即使当时不受重视. 数学家被这些问题吸引, 部分是由于理性和科学的观察, 部分由于纯粹的好奇心, 本能, 直觉, 或纯粹的审美方面的考虑. 我要讲的最后的主题, 正是数学的审美感受······我相信我们的审美观并不总是很纯粹和深奥, 也会包含一些世俗的尺度, 比如 (在数学中的) 意义, 结果, 实用性等. 我们对于定理、理论和证明的判断总是受此影响, 虽然经常简单地等同于审美.我用 Galois 理论为例来做一解释. 这个理论通常被认为是数学上最漂亮的一页. 为何? 首先, 它解决了一个非常古老, 也是当时关于多项式方程最重要的问题. 第二, 这一广博的理论早已超越了根号求解方程的初始问题. 第三, 它只基于很少的几条优雅而简洁的原理, 其全新的框架和概念体现了伟大的原创性. 第四, 这些新的观点和概念, 特别是群的概念, 为整个数学发展开辟了新的道路, 产 生了深远的影响······数学是一门复杂的创造, 许多重要特征与艺术、实验和理论科学相似. 所以它同时具有这三种属性, 也与任何之一不同.
在这篇文章中, Borel 用 Galois 的结果来检验他对于数学美的标准. 在我们的文章中, 我们希望通过黎曼的工作来检验什么是好的和伟大的数学. 读者们将会看到并且同意黎曼的工作符合上述的标准.
Atiyah 曾说 [At1, p. 29]:
对于数学工作者而言, 数学既是艺术也是科学, 美与真理受到同等尊重······大多数数学家, 特别是那些 “纯粹” 数学家, 所从事的研究工作都远离应用. 但是他们很清楚什么是漂亮的证明. 这代表了优雅的风格、经济的论证、清晰的 思想、完备的细节和平衡的形态, 综合起来让人确信无疑. 自然地, 很少有人能完全达到这些高度, 但是他们代表了努力的目标, 有着强烈的影响. 数学家经常被某个, 而非另一个领域所吸引, 这是因为他们发现这个领域更漂亮, 用到更优雅的方法. 相反地, 他们也努力避开那些冗长丑陋的论证.数学家头脑中的这些审美标准的主观重要性很难被高估. 它们提供了数学家前进的内在动力, 和如何看待其他人的工作.
Atiyah 在文章 [At2, pp. 233–234] 中写道:
数学的精髓在很大程度上是一门将非常零散的事物拼接起来的艺术. 毕竟数学是科学领域的终极抽象, 能够应用于解释诸多现象. 也许我可以引用 Poincaré 的一段话, 它与我提到的这些事实有关. 他说: “数学值得研究之处在于, 通过它 们与其他事实的联系, 可以导致数学定理的认知, 如同实验结果导致物理定律. 它们向我们揭示其中意想不到的密切联系, 特别是那些人们熟知的却以为毫无关联的事实.” 这些来自于实验科学和数学内部的事实需要结合起来. 我们需要从事联系不同的数学分支的学者, 同时也需要那些专注于某个领域, 并且深入研究的学者······我接下来比较冷门与主流数学······真正的先驱是那些特立独行、相信自己不需要追随前人的工作的人. 他们全新启航, 秉持完全创新的观点. 数学中真 正全新的发现和新创的领域大都来自于这些先驱的工作······最后, 我希望比较一下“强有力”和“优雅”的数学证明. 强有力的证明不一定优雅, 它可以是完全的蛮力, 推土机般的技巧, 套用整页的公式. 虽然看起来丑陋, 但是确实奏效. 而优雅的证明, 看似毫不费力, 挥洒笔墨, 一个精彩的结果出人意料地跃然纸上······如果你希望数学继续前行, 那么优雅是一个重要的标准. 如果想让别人理解证明的主旨, 那么就必须做到简单而优雅. 这些品质在数 学上很容易理解. 事实上, Poincaré 认为简洁是数学理论的向导, 是我们选择研究方向的标准.
除了讨论数学的本质, 上述引用也讨论了好的和漂亮的数学的重要特征. 在一次采访中 [Mi, p. 11], 面对提问“你是否认为数学中存在主流课题? 是否这些课题比其他的更重要?”, Atiyah 回答道:
是的, 我认为这是对的. 我强烈反对那种认为数学只是一些分散课题的组合, 人们可以通过写下公理 1, 2, 3 来发明一个新的数学分支并独自研究. 数学更多的是一个有机的发展体. 它与过去和其他学科有着长久的联系. 从某种意义上来说, 核心的数学总是不变的. 也就是那些来自于现实物理世界和数学自身与数和解方程相关的问题. 这总是数学的主要部分. 任何能够有助于解决这些问题的进展都是数学的重要部分. 反之, 与这些核心数学问题无甚关联或无益于理解数学精髓的方向, 通常不重要. 一个新的分支发展起来, 最后对其他分支产生影响, 但是如果它太偏离主流, 那么从数学角度而言, 不会太重要. 确实有的原创思想开启了新领域, 但是仍然与其他重要的数学分支有联系和交叉. 数学分支的重要性很大程度上取决于它是否与许多其他分支有关联. 这可看作 “重要性” 的自洽的定义.
对于提问“有没有可能一个问题很长一段时间没有任何影响, 但是许多年后突然受到重视?”, Atiyah 回答道:
我想确实有的人会有很超前的数学想法. 比如有人提了一个巧妙的建议, 但是很长一段时间人们都没有注意到它的重要性. 确实这经常发生. 我并不太关注这些. 我更多思考的是当今人们趋向于自己用非常抽象的方式发展一个数学领域. 他们只是埋头苦干. 如果要问他们原因, 有什么重要性或者联系, 你会发现他们也无从回答.现代数学的各个分支都有一些例子, 比如抽象代数, 泛函分析, 一般拓扑学的某些部分. 特别是那些公理化方法泛滥的部分. 引入公理的目的是将问题暂时分离出来, 并发展求解的技巧. 有人认为公理化可以用来定义一个自洽的数学领域. 我认为这是错误的. 公理越狭隘, 会显得越孤立. 当人们抽象化数学的概念, 这是为了将你希望专注的部分和你认为无关的部分区别开来. 这样更加方便于 集中精力. 但是, 你也去除了许多你不感兴趣的部分, 久而久之, 就脱离了原本的 根基. 如果你发展公理化体系, 那么在某个阶段, 你应该回到它的本源, 促进融合与交流. 这才是健康的. 你会发现 von Neumann 和 Hermann Weyl 在 30 年前也 表达过类似的观点. 他们担心如果数学的发展道路偏离了它的本源, 就会失去生机. 我认为这基本正确.
在一篇题为“关于数学的证明与进展”的文章中 [Th, p. 162], Thurston 写道:
数学家一般认为他们明白数学的含义, 但是却很难给出一个直接的定义. 这是个有趣的问题. 在我看来, “关于形式化格局的理论”也许最为贴切, 但是要讨论它的话, 可以写一长篇文章.
追求真理, 这是数学最显著的特征. 但是数学并不仅仅关心某个命题是否正确. Borel [Bo, p. 11] 写道:
当然并不是所有的概念和定理都同等重要. 如 G. Orwell 的《动物农场》那样, 其中一些肯定会更重要. 是否有内在的标准可以客观地给出排序? 你会意识到同样的问题也存在于绘画、音乐和艺术.所以这是审美问题.事实上, 一个通常的回答是, 数学很大程度上是一门艺术, 它的发展受到美学标准的推动、引导和审视.
3. 什么是好的和伟大的数学
我们对数学的本质作了一些描述. 接下来, 我们将考虑如何描述和判断好的和伟大的数学和数学家.
一个简单和最直接的判断数学和数学家的方式是接受时间的检验. 这也是最可靠和最终极的检验, 如同阳光下的一切.
如 Grothendieck 在他写给瑞典皇家科学院的拒绝 Crafoord 奖的信中所说: “我确信时间是检验新思想和新观点所带来的成果的唯一途径. 成就应该由它的影响力, 而不是荣誉来衡量.”
Atiyah [At1, p. 36] 也曾写道:
当然任何领域中的研究的价值最终都应该由后人来评判······我一直主张另一个观点, 即评价应该基于对于整个数学的影响. 这不容易, 因为需要估算影响到底有多大, 但这至少是一种可行的方案. 而且, 这一原则也能够加强数学的统一, 避免各自为政. 我相信, 在现实中, 人们更看重的是与好几个数学领域都有关的工作.
许多时候, 人们无法等待太久, 所以时间的检验不太可行. 需要寻找其他的方法. 评价好的或伟大的数学和数学家总是很困难的, 但数学家们又时刻需要这些评价.他们在评价他人的同时, 也接受他人的评价. 最明显的是各种颁奖的场合.
除了 Atiyah 上面提到的方法, 我们看看其他数学家的点子. Hardy [Har, p. 13] 有一句名言:
如同画家和诗人, 数学家也是 “模式” 创造者. 如果数学家创造的 “模式” 更加久远, 那是因为它们是思想的发明.
那么自然地就会考虑如何评价思想的价值. 在一次演讲 “作为一门适当语言的数学” [ERS] 中, Gelfand 讲道:
许多人认为数学是枯燥和形式的科学. 但是, 真正好的数学工作其实总是充满漂亮、简洁、精确和疯狂的思想. 这是奇怪的组合. 我知道这种组合在古典音乐和诗歌中非常重要. 但是它也常见于数学中. 所以也不难理解许多数学家都喜 欢严肃的音乐.
在文章 “数学的健康” [Mac2] 中, Mac Lane 写道:
目前, 我们大多数人只在讨论班和会议上和我们的同领域的学者交谈······同时, 出版很少. 从范畴理论到双曲理论这些领域, 许多重要数学家并非通过发表文章来积累声望. 当然, 证明一个定理比写下详细的证明更有趣, 但是 (也 许除了 Weierstrass) 从未有过如此普遍的倾向, 仅仅通过口头交流结果. 这种通过草略的文章和研究公告交流有时候是不够的 (比如, 在几何拓扑中). 有时候发表的不是一个证明, 而是暗示和宣布优先权. 如今的天才们不拘泥于细节, 但是如果我们鼓励这种通过伪出版物获取声望的方式, 将会导致更多的来自非天才模仿者的声明······一个问题最重要的是它的相关性. 或许困难在于专业化效应. 当一个领域失去了目标和展望, 很难转换领域, 也许只能简单地继续在一个非自然的问题上无目的前行······在每一个这些数学中说明的例子, 专家们看到了一个困扰着我的目的. 但我仍然认为太多这种不带说明的阐述, 这正是持续专业化的代价······过去至少有一些数学家了解整个学科的概貌, 能够对未来走向提出展望. 他们不局限于自己工作的领域. 今天很少有人能有这种大局观. 这也许是因为我们总是奖励某个领域的专家, 而非那些了解全局的人······希望可以有更多来自不同领域的专家交流他们的想法, 更多人能够转换研究领域. 希望有更多关于数学形态和方向的讨论, 更强调目的而非技巧. 希望有 更多关注新的数学概念的起源和发展, 因为它们可能来自数学、理论物理等其他学科. 希望有更多努力整理和理解数学最近的主要进展······他与我正在讨论如何做数学. 我采用标准的方法, 即指定一个感兴趣的课题, 建立所需的公理, 然后定义名词. Atiyah 很赞赏理论物理学家的风格. 对他们而言, 每当有新的想法, 并不是立刻去定义它, 因为这会造成有害的局限性.他们会到处谈论这个想法, 发展各种联系, 最后达到更加普适和丰富的概念. Atiyah 指 出 Dirac 的 δ 函数是一个很好的例子, 最后它被看作一种分布. 其他例子包括量 子场论中的重整化和 Feynman 路径积分. 不过, 我坚持认为作为数学家, 我们应该清楚我们所谈论的, 无论是同伦群还是伴随函子.
他总结道: “数学的进步应该由所理解的新思想来衡量, 而不是出版物的数量.”
在一篇呼应 Mac Lane 的文章 “数学的判断” [Br] 中, Browder 写道:
数学是科学的一部分, 秉承科学研究的方法. 但是我们的学科决定了我们所用的技巧, 与其他科学区别开来. 如果科学是为了发现 “自然定律” , 那么数学也完全是为了探索思想和概念的 “自然” 王国.只有通过深刻理解我们所研究的专业领域, 才能发现一般的理论和我们所探寻的关联. 我们需要深入与细致的挖掘, 也要时刻准备当灵感出现的那一刻.
Mac Lane 提到的专业化与 Browder 给出的特例完全不同. 在文章 “多元数学: 数学是单一科学还是艺术的集合?” [Ar, p. 403] 中, Arnold 写道:
数学最惊人和振奋人心的特征是它的各个不同的领域之间往往存在着神秘的联系.过去一个世纪的经验表明, 数学的发展并非由于技术上的进步 (占据了数学家们大部分的精力), 而是由于通过这些努力发现了不同领域间意想不到的联系. 关于数学各个领域当前进展的珍贵的综述报告, 类似于阵地战. 前线的阵形和每日的变化, 对于战士们很重要. 但是思想的发散模式造成了有害的一面 (由于数学的专业化和其更细致的划分所导致), 特别当人们希望了解数学过去发展的曲折历史, 这变得越发明显.
他继续说道 [Ar, p. 408, p. 415]:
错误是数学重要和具有启发性的一部分, 也许和证明同等重要. (数学中的证明就如同诗人的书写.) 数学工作由证明构成, 正如诗歌由文字写就······Hilbert 试图预测数学未来的发展, 并提出自己的问题来影响之. 20 世纪数学的发展却走了不同的道路······Poincaré和 Weyl 对 20 世纪科学的影响更加深远.
Atiyah [At1, p. 28] 写道:
毫无疑问, 创新在数学发展中至关重要, 这是最高的原则······创新有许多形式. 最普遍的是发明解决问题的新技巧. 创新的程度当然也有不同, 可以是如同大多数数学家几乎每天都取得的小步的进展, 也可以是巨大的全新方法的飞跃. 后者往往由于引入了全新的概念, 导致完全不同的观点······巨大创新通常出现在解决一个非常困难问题的过程中. 还有另一种同样关键的创新, 也就是提出新的重要的问题. 如前所述, 一个问题的重要性在它被解决之前一般很难估量, 所以选择合适的研究问题需要卓越的洞察力······我们可以说, 数学的进展是通过不断应用标准的方法, 并时而由于新概念和新问题的突然出现引发飞跃.
Atiyah [At1, p. 29] 写道:
在如同数学这样组织精细和结构复杂的学科中, 有许多的路标和明灯来指引观光者. 但是行之久矣, 笔直的道路令人生厌, 数学家们期待意料不到的转折. 如果有人说一个结果出乎意料, 可视作是高度的赞扬.
Atiyah [At1, p. 31] 写道:
一定程度的专业化是不可避免的, 也许也是我们期望的. 但是行之过度会带来灾难. 数学的使命是把思想从一个领域通过抽象化传递到另一个领域. 进一步, 数学研究的终极意义在于它的整体统一性······能够保持数学整体性和统一性的主要平衡力, 是发展复杂和抽象的概念. 这可以促进产生总体融合, 使得许多特殊结果成为某个大统一原理的特殊情形. 这在许多领域都取得了成功. 19 世纪数学的很大一部分, 在没有造成巨大损失的情况下, 已经被 20 世纪数学的抽象和提升的观点所吸收. 这解释了当今一些关键领域的统治地位, 比如群论 (研究对称性)、拓扑 (研究连续性) 和概率 (研究随机事件).
Atiyah [At1, p. 32] 写道:
新概念可以帮助统一过去的工作并为未来发展扫清障碍. 所以它们是数学发展必不可少的组成部分. 从长远来看, 它们与解决难题或者发展新的技巧同等重要. 现实中, 真正有用概念的出现需要很长的积累, 往往与具体的工作相结合. 它们只在很少的情况下会横空出世.
在书 [Go2] 中有一节 “给年轻数学家的建议”, Connes 在其中一篇文章中写道:
真正有趣的事情是, 好几代数学家发展起来的非常不同的领域之间出现了意想不到的联系.
Gowers 在他的文章 “数学的两种文化” [Go] 中写道:
C. P. Snow 认为人文与自然科学之间缺少交流是非常有害的. 他特别批评了那些人文学者缺少科学素养······我认为类似的社会现象也可以在纯数学中见到. 这并不是完全健康的. 我希望讨论的 “两种文化” 所有数学家应该都不会陌生. 粗略地说, 我是指两类不同的数学家, 一类将解决问题视为中心的目标, 另一类更关注建立和理解理论······并不是所有问题都同样有趣, 检验哪些是更有趣的问题的方法之一是看它们是否有助于我们对于数学整体的理解. 同样地, 如果有人付出多年努力钻研一个很困难的数学领域, 但是却并未增进对数学整体的理解, 那么也不会引起太多关注.所以我所说的数学家可以分为理论型和解题型, 我是指他们的侧重点, 而并非说他们完全只从事这一类数学工作. 显然这两类数学家都是我们需要的 (如同 Atiyah 在 [At2] 的文末所说的那样). 同样显然的是, 不同领域的数学家需要不同类型的才能.
Atiyah [At2, p. 232] 写道:
我希望提到的第一点是解决问题与创立理论的关系. 当然两者可以有许多 话题, 如果一个理论不能够解决问题, 它有何用? 如果提出许多问题却无法系统 地建立关联, 又有何益? 即使它们单个来看都很有意思······我们需要将过去的研究经验凝聚成一种容易理解的形式, 这也即理论的初衷. 也许我还可以引用 Poincaré 的名言: “科学由事实构成, 如同房屋建自于石料. 但是事实的堆砌并不是科学, 就如同一堆石头并不是房子.”
在书 [Go2] 中有一节 “给年轻数学家的建议”, Atiyah 在其中一篇文章中写道:
数学家有时候可以分类为 “解题者” 和 “理论家” . 确实在一些极端情形这种区分非常明显, 比如 Erdös 和 Grothendieck. 但是大多数数学家介于两者之间, 因为他们的工作既有解决问题, 也同时发展理论. 事实上, 如果一个理论不能够解决具体和有趣的问题, 那就不值得探究. 相反地, 对于真正深刻的问题, 在求解它的过程中应该能够激发理论的发展 (比如 Fermat 大定理).
在本文提及的数学家中, 也许 Halmos 的观点是最著名的. 在文章 “作为创新艺术的数学” [Hal] 中, 他写道:
数学是抽象的思想、纯粹的逻辑和创新的艺术. 所有这些都是错误的, 但是 又有些道理, 毕竟它们比 “数学就是数” 或者 “数学是几何形状” 之类的观点好多了. 对纯粹数学家而言, 数学是一些稀疏假设的集合通过漂亮证明的逻辑衔接. 简洁又不失复杂, 至高的逻辑分析, 这些是数学的特点.数学家青睐最优的情形, 如同工业实验者打碎灯泡, 扯破衬衣, 将车在坑地里颠簸. 他希望知道一种推导应用有多广, 如果推导不成立会发生什么. 当减弱一项假设会有什么效果? 在什么条件下可以加强某个结论? 这些无穷无尽的问题导致了更广泛的理解、更强大的技巧和未来问题更大的弹性······对于数学成果质量的评判, 所基于的原则远高于正确性, 但是又很难描述. 数学上好的工作往往与许多领域相联系, 它必须是全新的 (想象一下如果一部 “新” 电影只是更换了名字和服装, 却保留了相同的情节). 它具有不可言喻但不 可阻挡的深刻性. 比如 Johann Sabastian 是深刻的而 Carl Philip Emmanuel 不是. 数学工作崇尚美妙, 复杂, 简洁, 优雅, 追求满足感和相称性, 看起来都很主 观, 但都被广为认可.
Halmos 在他的自传《我要做数学家》[Hal2] 中写道:
数学不是如通常认为的那样仅仅是关于推导的科学. 当我们试图证明一个定理, 我们不是简单地罗列假设, 然后开始论证. 我们需要不断在错误中尝试和猜测. 我们试图找出事实, 这一点类似于实验室的技术员, 但是在精度和信息方面有所不同. 也许哲学家对数学家的看法, 就如同我们对技术员的看法······要成为数学家, 我们需要有天赋、洞察力、专注度、品位、运气、动力和想象力. 对于教学, 我们还需要理解学生可能遇到的困难, 与听众产生共鸣, 无私分享, 再加上演讲的才能, 明快的风格和展示的技巧. 最后如果你做一些文书和行政工作, 那么你还需要责任感, 道德心, 细致而有序. 领导才能和个人魅力是锦上添花······要成为数学家, 你必须热爱数学, 胜过家庭、宗教、金钱、享福、安逸和荣耀. 我不是说完全放弃家庭、宗教和其他, 也不是说如果你热爱数学, 就不会有疑惑, 不会遇到挫折, 不会放弃而宁可打理花园. 疑惑与挫折是生活的一部分. 伟大的数学家也会遇到疑惑与挫折, 但是他们不会停下数学工作, 因为离开数学, 反而他们会更加想念.
在文章 “鸟与青蛙” [Dy, p. 212] 中, Dyson 写道:
一些数学家是鸟, 而另一些是青蛙. 鸟在蓝天翱翔, 概览数学的全貌直至天际. 他们创造统一思考的概念, 把不同领域的问题统一起来. 青蛙生活在泥地中, 只看到周围的花草. 他们专注于特定课题的细节, 解决一个又一个的问题. 我曾经是青蛙, 但是我的很多朋友是鸟. 这是我今晚演讲的主题. 数学同时需要鸟和青蛙. 数学既是伟大的艺术也是重要的科学, 因为它融合了概念的广泛与结构的深度. 认为鸟看得远而比青蛙高贵, 或者认为青蛙比鸟看得更深刻, 都是不明智的观点. 数学同时需要广泛与深度, 所以我们需要鸟和青蛙的携手探索······20 世纪数学的发展有两个决定性的事件, 一个属于 Baconian 传统, 另一个属于 Cartesian 传统. 第一个大事件是 Hilbert 在 1900 年巴黎国际数学家大会上的主旨报告中, 提出了 23 个著名难题为未来数学指明了方向. Hilbert 是鸟, 俯瞰整个数学界, 但是他向青蛙提出并希望他们解决这些问题. 第二个大事件是法国 20 世纪 30 年代的 Bourbaki 学派. 他们出版了一系列教科书, 希望为所有数学建立统一的框架. Hilbert 的问题引发了数学的丰硕发展. 无论是已经解决还是悬而未决的问题, 都激发了新思想和新领域的诞生. Bourbaki 的工程也产生了巨大的影响, 改变了接下来 50 年数学的风格. 前所未有地强调了逻辑的连贯性, 把重点由具体的例子转移到抽象的概括. 在 Bourbaki 的构想中, 数学是 Bourbaki 教科书中的抽象结构. 不包含在教科书中的内容不是数学. 具体的例子, 因为它们没有出现在教科书学中, 所以不算数学. 这是 Cartesian 风格的极端表达. 它限制了数学的视野, 抛弃了 Baconian 旅行者采集的美丽花朵······数学中最深刻的概念能够将一个领域与另一个领域联系起来. 在 17 世纪, Descartes 通过他的坐标系将代数与几何相联系. 牛顿通过他的微积分将几何与动力学相联系. 在 19 世纪, Boole 通过符号逻辑将逻辑学和代数联系起来. 黎曼通过他引入的黎曼曲面将几何与分析联系起来. 坐标、微积分、符号逻辑和黎曼曲面都是比喻, 从熟悉延伸到不熟悉的语境······Baconian 传统认为 Hilbert 在 1900 年巴黎国际数学家大会提出的 23 个问 题为 20 世纪数学拟定了方向. Manin 不同意这种看法, 他认为 Hilbert 的问题偏离了数学的主题. 他认为数学的重要进展来自于纲领, 而非问题. 人们常常通过翻新旧的想法来解决问题. 研究纲领是新思想的温床. 他认为 Bourbaki 纲领将数学重写为更抽象的语言, 从而导致了 20 世纪许多新思想的诞生. 他将统一数论与几何的 Langlands 纲领视作 21 世纪新思想的源泉. 解决难题可以让你获奖, 但是开启了新纲领的人物才是真正的先驱.
在文章 “数学家心理之刻画” [De, p. 19] 中, Dehn 写道:
思想的起源经常很难厘清, 特别是那些年代久远的想法的发现过程很难还原. 但是它的最终形式往往属于某个特定的人. 所以在我看来, 当我们评价一项贡献, 不要太追求优先权. 在某项工作中最初出现的想法往往并不重要······另一方面, 最美的花环应该属于那个将思想从黑暗中提炼出来、并加以完善的人. 即使由于环境的局限, 他无法继续推进他的影响.这里我们应该注意, 有一种自然的倾向使得我们夸大对于历史的评价. 对历史学家而言, 最开心的莫过于品味历史发展的意图、联系、决裂和变迁, 置身于创造者的灵感闪现和成果丰收的时刻······当然数学家的创造力并不仅限于他们的学科. 我们看到 Cardano 的例子, 还有黎曼的前瞻性贡献等带来的变革······最后我们考虑拓扑学, 这是数学中研究物体形状的学科. 它兴起于 19 世纪, 主要是哥廷根数学家黎曼的工作; 黎曼建立了许多函数论问题的拓扑本质. 到 19 世纪末, Henri Poincaré 强力推进了拓扑学的发展. 现在拓扑文章随处可见, 但是说到基本性的问题, 严格说并未超越 Poincaré 或黎曼, 特别是考虑到对于二变量代数函数理论的推动. 这并非由于问题很难 (比如数论), 而是因为人们的思维局限无法同时驾驭不同的领域······我要说的是, 与普遍的看法相反, 数学家并非是在空想和具有怪癖. 这与数学毫不沾边. 数学家处于许多研究领域的交界, 特别是人文与自然科学, 在美国这似乎是两个毫无交集的学科. 数学研究方法属于一般科学方法, 又具有独特性. 由于排中原理的重要性, 这与法学方法相关. 数学研究的目标比自然科学家更理性, 比人文学者更感性. 后者是因为数学的发展史与哲学史密切相关. 与自然科学的联系远不止在所有科学的应用. 数学家知道自然科学为他们提供了最重要的灵感. 比如成为微积分支柱的 L’Hospital 的无穷小方法, 来自于 Galileo 弹射体运动的惯性和重力分解的研究. Fourier 命名的周期级数与 19 世纪分析学的重要发展息息相关······有时候数学家有着诗人或征服者的热情, 他的论证有如一个负责的政治家, 慈爱的父亲. 他的容忍与顺从堪比圣贤. 他是变革与保守并重, 怀疑却又忠实地乐观. 这些品质有时候会出现在一个人身上, 虽然它们也自相矛盾. 如同 C. F. Mayer 让 Ulrich von Hutten 所说的: “我不是一本人造的书刊, 而是一个具有全部矛盾的人.”
在文章 “数学家” [Neu] 中, John von Neumann 写道:
在我看来, 数学至关重要的特征是, 它与自然科学的特殊关系. 或者更一般地, 与任何不是泛泛而谈的科学的关系.
大多数人, 无论是否是数学家, 都会同意数学不是经验的科学. 至少在几个关键的方面它与经验科学的技巧不同. 数学的发展与自然科学的发展密切相关. 它的主要分支之一的几何学, 发源于自然的经验科学. 现代数学最棒的灵感来源于自然科学. 数学方法盛行于自然科学的理论研究. 评判现代经验科学是否成功的一个越来越重要的原则是它是否适用数学方法, 或者物理中的近数学方法.
Fields 奖是数学界最具声望的著名奖项. 所以引用 Fields 自己的看法, 会很有意思. 1903 年, 在文章 “德国大学与德国大学的数学” (参见 [Rie]) 中, 40 岁的 Fields 除了描述了对德国数学体系的推崇, 也把数学家分为五类:
在第一类中, 包括了那些拥有永恒创造力的绝世天才, 能够不断攻克基本的难题, 变革现有领域, 开创新方向······在第二类中, 可以看到那些人选择了一个感兴趣的课题, 一生精心钻研, 拓展分支, 开创观点, 发展理论. 我们还可以看到那些开创了一个新的未知领域的数学家, 他们的发现在数学史上具有划时代的意义.在一个理论的发展过程中, 有许多基本的困难需要克服. 当研究方法得以建立, 其中仍然需要巨大的工作. 那些从事这些工作的数学家可以归为第三类. 他们的工作也许不具开创性, 但是他们留下了极具才智的工作······在第四类中, 是那些编辑整理前面三类数学家工作的学者, 以及那些解决了并未引起太多关注的孤立问题的学者······在第五类中, 是那些不属于前四类, 但是也为数学发展做出重要贡献的数学家, 比如教科书作者等.
4. 黎曼的生平、教育与学术生涯
虽然黎曼是数学史上举足轻重的数学家, 但是还没有关于他的传记的书籍出版. 关于黎曼的最好的短篇传记是他的朋友 Dedekind 所写, 收录在《黎曼全集》的第一版中. 除此之外, 还有 [Lau] [Mon] [Kle] 等书中关于黎曼生平的介绍, 以及文章 [Fre]. 它们大都受到 Dedekind 文章的影响.
我们将简要介绍黎曼的生平和教育经历, 以期了解它们如何影响了他的数学生涯.
黎曼 1826 年 9 月 17 日出生在德国北部汉诺威的一座名叫布列斯伦茨 (Breselenz) 的小镇. 他的父亲是乡村的路德会牧师, 母亲是法官的女儿. 他的母亲 Charlotte Ebell 在黎曼 20 岁时就去世了. 黎曼小时候家境贫寒, 是 6 个孩子中的次子. 虽然家境贫寒, 孩子们仍在关爱中幸福成长. 幼时的黎曼很害羞, 怯于在公开场合说话. 他的一生中多次受精神崩溃的折磨. 他在孤独和思考中找到了慰藉, 展现了极大的勇气和广阔的视野.
黎曼的父亲承担起了孩子们入门教育的重任, 在家中教育黎曼直到 10 岁. 5 岁时, 黎曼对历史着迷, 但很快他就展现出了非凡的计算才能, 开始痴迷于发现并解决难题. 不过他并不擅长写作和表达. 从 10 岁到 13 岁半, 黎曼跟随一位职业教师学习算术与几何. 很快老师就发现, 黎曼已经超过了他, 常常能够给出更好的解答.
黎曼在学校里所有课程都很出色, 数学尤为突出. 高中的校长早已观察到黎曼的数学才能, 慷慨地把自己的私人藏书借给黎曼. 他借给黎曼 Legendre 的《数论》. 黎曼很快就读完了这本 900 页的巨著. 这也许为黎曼后来在素数方面的伟大工作埋下了种子. 他还通过学习 Euler 的著作, 熟练掌握了微积分和各种计算技巧. 高中时, 黎曼在钻研数学的同时也研读了《圣经》. 他是虔诚的基督教徒, 并把自己的数学生涯看作尊奉上帝的一种方式.
1846 年春, 19 岁的黎曼被哥廷根大学录取. 在父亲的鼓励下, 黎曼选择了神学专业. 他希望自己能够尽快找到工作帮助家庭. 同时他也旁听了 Stern 的方程数值解, Goldschmidt 的地磁学, Gauss 的最小二乘法等课程. 很快他发现数学有着无可阻挡的魅力. 于是他询问父亲, 希望能够转学数学. 黎曼很顾家, 凡是重要的决定都会征求父亲的建议. 黎曼的父母很重视孩子们的教育. 最后父亲支持了黎曼的决定.
哥廷根大学无疑是数学的圣地. 在那里任教的 Gauss 是当时公认的最伟大的数学家之一. 黎曼确实听过 Gauss 讲授的基础课, 但没有证据表明那时候 Gauss 与黎曼有深入的交往, Gauss 也并未发现黎曼的天赋. 另一方面, 黎曼的老师 Stern 已经意识到黎曼的数学才能. 他曾说: “黎曼已经像金丝雀那样歌唱.”
由于黎曼早已自学过许多数学课程, 他觉得在哥廷根无法学到更多的数学. 于是在 1847 年春, 他转到柏林大学. 当时在柏林大学任教的数学家包括 Jacobi, Lejeune, Dirichlet, Steiner, 他们讲授前沿的数学成果及其进展, 吸引了德国各地的学生. 黎曼也遇到了 Eisenstein, 他被 Gauss 认为是最具才华的数学家之一. 黎曼与 Eisenstein 讨论复数应该如何引入函数论中. 他们的观点不尽相同. Eisenstein 看重形式的算法, 而黎曼着眼于用偏微分方程来理解全纯函数. 黎曼 1851 年的博士论文正是源于这一观点.
黎曼被 Dirichlet 的研究风格和思考方式所吸引. Klein 曾说:
黎曼被 Dirichlet 所吸引, 这是由于他们内心共同的思考方式所引发的共鸣. Dirichlet 偏爱从直观上把问题搞清楚, 以此给出基本问题的简明逻辑分析, 尽量避免冗长的计算. 他的风格影响了黎曼今后的研究生涯.
1849 年, 黎曼回到哥廷根. Weber 刚从莱比锡大学回到哥廷根物理系任教. Listing 也在 1849 年受聘担任哥廷根物理教授.
黎曼 1851 年在 Gauss 的指导下提交了他的博士论文. 在此之前, 他参加了 Wilhelm Weber 的实验物理课程, 以及 Weber, Ulrich, Stern 与 Listing 组织的数学物理讨论班. 黎曼花了大量时间参与讨论班上的物理实验. 黎曼与拓扑学的开创者之一 Listing 有很多交流. 这些都对黎曼后来的工作产生了深远的影响.
由于这些兴趣耽误了黎曼不少时间, 直到 1851 年 11 月, 时年 26 岁的黎曼提交了他的博士论文, 这被认为是复分析学科的重大突破, 是数学的永恒财富. Gauss 对黎曼的论文作了如下评价 (参看 [Bel, pp. 495–496]):
黎曼所提交的博士论文提供了令人信服的证据, 表明作者在他的论文中对所论述的课题进行透彻和深入的研究, 显示出一个具有创造性的、活跃的、真正数学才能的头脑以及富有成果的原创性. 文章表述清楚而简洁, 有的地方很漂亮. 大多数读者将会喜欢这个更清楚的安排. 这项实质而极富价值的工作不仅达到博士论文所要求的各项标准, 而且远远超出了它们.
获得博士学位后, 黎曼以为他能够很快完成讲师资格论文. 但最终花了两年半才写完. 1853 年 12 月初, 黎曼提交了他的讲师资格论文. 同年 12 月 28 日, 黎曼写信给他的弟弟讲到关于他的就职报告.
我的工作现在已经有了眉目. 12 月初我提交了讲师资格论文. 现在我要为就职报告准备三个题目. 教授委员会将会从中选择其一. 我已经准备了头两个题目, 希望他们能选择其中一个. 但是 Gauss 挑选了第三个, 于是我又要开始忙碌了, 我需要再认真研究下这个题目.
Gauss 选择的这个题目是关于几何学的基本假设. 一个原因是 Gauss 也思考过这个困难的问题, 想了解黎曼是如何看待这个问题的. 黎曼的头两个题目与电磁学有关, 这是黎曼当时正沉浸于研究的问题.
黎曼用几个星期时间准备关于几何学基本假设的报告. 为了让非数学家的委员会成员理解他的报告, 黎曼忽略了所有计算细节. 不知道在场有多少人能够理解黎曼在 1854 年 6 月 10 日的报告内容. 但是这远远超过了 Gauss 的期望. Gauss 告诉 Weber, 他为黎曼演讲中蕴含的深刻思想激动不已.
从黎曼给他弟弟的信里可以看到, 黎曼精心准备了他的报告. 我们可以看到黎曼手稿中的多处修改和补充. (参见文前插页的图片, Cod. Ms. B. Riemann 16 Cim.)
在这次成功的就职报告后, 黎曼又在 1854 年 9 月的一次国际会议上作了有关非导体电荷分布的精彩演讲. 他在给父亲的信中写道:
之前的就职报告, 给了我更多的勇气. 我发现, 一方面思考了很长时间并厘清了一切头绪, 而另一方面只是在演讲前仓促准备, 两者有很大的区别.
接着黎曼成功地在哥廷根大学开设了他的第一门课程, 吸引了众多的学生. 接下来黎曼遭受了一系列的打击. 1855 年, 他的父亲去世. 接下来的三年间, 他的多个兄弟姐妹相继去世. 黎曼承担起了照顾家庭的重任.
虽然黎曼的才能在他 1851 年发表博士论文后就被广泛关注, 但是直到 1857 年他才成为副教授. 1859 年 Dirichlet 去世, 33 岁的黎曼成为正教授, 继任了曾是 Gauss 和 Dirichlet 的职位. 就在几天后, 黎曼被选为柏林科学院的通讯院士. 举荐他的是三位柏林数学家 Kummer, Borchardt 和 Weierstrass. 他们在推荐信中写道:
在他最近关于 Abel 函数理论的工作问世前, 黎曼几乎不为数学家所知. 这使得我们也许可以不必详细审阅他之前的工作. 我们觉得我们有责任向柏林科学院推荐这位我们的同行, 并非因为他是极富潜力的年轻数学家, 而是因为他早已是一位完全成熟而独立的学者, 并取得了重要的成就.
1862 年 6 月, 黎曼与 Elise Koch 结婚. 他的太太是他妹妹的好友. 他们有一个女儿. 1862 年秋, 黎曼染上风寒, 结果导致肺结核. 他只得去气候温和的意大利休养. 1862—1863 年的冬天黎曼住在西西里, 然后他到意大利各地访问, 与 Betti 等意大利数学家交流. Betti 曾在 1858 年访问过哥廷根从而结识黎曼. 1863 年 6 月黎曼回到哥廷根, 但是他的健康迅速恶化, 他不得不返回意大利. 1864 年 8 月 到 1865 年 10 月间, 黎曼住在意大利北部. 他于 1865—1866 年间的冬季回到哥廷根, 接着 1866 年 6 月 16 日重返 Maggiore 湖畔的 Selasca. 同年 7 月 20 日, 黎曼在意大利 Selasca 去世, 并葬于 Selasca 的 Biganzolo 公墓.
Dedekind 如此描述黎曼生命的最后时刻:
他的体力急速衰落, 他自知已到生命的终点. 但即使在人生的最后一天, 他依然在无花果树下安静地工作. 在美丽的景色之中满是喜悦地看着他最后未完成的工作. 他去世的时候很安详, 没有任何的挣扎和恐惧. 他的太太递给他面包和酒. 他祝福深爱的亲人, 告诉太太: 亲亲我们的孩子. 她念着主祷文, 而黎曼不能说话. 当她念到 “宽恕我们的罪过” 时, 黎曼抬起了眼, 她感到他的手逐渐冰凉. 几次喘息后, 他的纯净而高尚的心停止了跳动.
在黎曼位于意大利 Biganzolo 的墓碑上, 写道:
这里安葬着格奥尔格 · 弗雷德里希 · 波恩哈德 · 黎曼先生哥廷根大学教授1826 年 9 月 17 日生于 Breselenz1866 年 7 月 20 日逝于 Selasca凡爱上帝者必诸事顺遂.
Bernhard Riemann的墓碑
5. 黎曼数学生涯中的重要人物
虽然黎曼总是被描述成害羞而内向, 他与其他学者的交流对他的成长和学术成就至关重要, 即使他是位极富原创性的数学家. 我们简要地描述几位影响了黎曼的学者.
1.Dirichlet
在黎曼的所有老师中, Dirichlet 对黎曼的鼓舞最大. 黎曼在柏林听他的数论与分析课. Dirichlet 对于数学物理的兴趣也影响了黎曼. 黎曼把复分析中的一个重要结果命名为 Dirichlet 原理. Dirichlet 与黎曼友情深厚. 黎曼 1852 年写给父亲的信中提到:
有一天早上, Dirichlet 花了两个小时和我在一起. 他给了我一些笔记, 与我的讲师资格论文有关. 这些笔记的内容如此丰富, 大大减轻了我的工作. 不然的话, 我可能要花许多时间在图书馆中寻找这些资料. 他也和我一起讨论我的博士论文. 他对我一直非常友好, 这是我无法想象的. 因为我们的地位差距如此之大. 我相信他以后也会对我有印象.
2. Gauss
Gauss 对黎曼的影响, 并不是通过他所教授的课程. Klein [Kle, p. 233] 写道:
对我们来说很惊讶和神秘的是关于黎曼与 Gauss 在数学思想上的亲密友谊. 黎曼没有机会参加太多的 Gauss 的课程, 毕竟 Gauss 已经 70 岁高龄, 很少教课. 这个年轻害羞的学生与 Gauss 并无太多来往. Gauss 不爱教课, 对大多数学生并无兴趣, 也不易接近. 不过, 我们仍然认为黎曼是 Gauss 的弟子. 事实上, 他是 Gauss 唯一真正的弟子, 能够领悟 Gauss 的思想······
Gauss 选择第三个题目作为黎曼就职报告的一个目的, 是希望黎曼能够在几何上有更深入的研究和思考. 这也是 Gauss 工作的延伸. 黎曼在素数方面的工作也受到 Gauss 影响. 他们的观点有许多的相似之处, 比如对于全纯函数与共形映射和调和函数的联系, 以及他们在超几何函数方面的工作. 对他们而言, 数学总是与物理相联系.
3.Eisenstein
他只比黎曼年长 3 岁, 但是当还是学生的黎曼在柏林遇到他时, Eisenstein 已经是知名数学家. 黎曼曾与他讨论过数学. Eisenstein 对单复变函数论有自己独到的观点, 并坚持发展自己的理论. 这给了黎曼信心. 这对于黎曼这样害羞的学生而言尤为重要.
4.Weber
黎曼对数学和物理都有重要贡献. 这两门学科的相互影响给了黎曼许多启发. 作为一个实验和理论物理学家, Weber 对黎曼有诸多帮助. Klein [Kle, p. 235] 曾说: “黎曼视 Weber 为导师和父辈的朋友. Weber 赏识黎曼的才华, 处处关照这个害羞的学生.”
5.Dedekind
他是黎曼的朋友和同事, 也是很少几位可以与黎曼畅谈数学的同行之一. 他 非常欣赏黎曼的工作. 当黎曼在课上讲授他的名作 —— Abel 函数理论时, 听众只有 Dedekind 和两位学生. 他关于黎曼的传记被认为是黎曼生平的最忠实的记 . 他是《黎曼全集》最早的编纂者之一.
6.Jacobi
当黎曼在柏林就学时, Jacobi 是给予黎曼最多启发的老师. 黎曼给出的 Jacobi 反演问题的解答使得黎曼一夜之间跻身第一流数学家的行列.
7.Stern
他是黎曼读大学时的最早遇到的数学老师, 他讲授的许多课程激励黎曼立志成为一名数学家. 他很早就发现了黎曼的才华.
8.Listing
他是拓扑学的奠基人之一. 1847 年出版了著作《拓扑学入门》( Vorstudien zur Topologie ). 他启发了黎曼后来在单复变函数论中引入原创和强有力的拓扑方法. Klein [Kle, p. 234] 写道:
哥廷根的几何学的气氛对于满是才华和求知欲的黎曼产生了重要影响. 一 个人所处的环境对于他的影响, 比知识所赋予他的更为重要.
9.Friedrich Herbart
他是一位哲学家和教育家, 而非数学家. 黎曼的哲学观受到他的重要影响. Herbart 生于 1776 年, 他的一生大部分时间都在哥廷根度过, 1841 年去世. 5 年 后, 黎曼来到哥廷根. 他是 19 世纪现实主义哲学的先驱, 当代科学教育学的奠基 人. 相比于其他数学家, 黎曼更推崇哲学, 他写过很多哲学的散文. 这也反映在 他关于几何学基础的著名文章中. 黎曼曾说 [Kle, p. 233]: “我的主要工作与自然 界定律的新概念有关. 我的创新主要源于研究 Newton, Euler 以及另一方面 —— Herbart 的工作.”
6. 黎曼工作的一些特征
黎曼的工作富有概念创新的特征. 比如在他的博士论文中, 他通过所满足的微分方程而非幂级数来刻画单复变全纯函数. 另一个例子是黎曼通过单值群来研究超几何函数. Klein [Kle2] 写道:
黎曼一生中在这个课题上只在 1856 年发表过一篇他的初步研究, 只考虑超几何的情形. 他令人惊讶地证明, 所有已知的超几何函数的性质可以从函数在奇异点附近的计算得到.
几何 (拓扑或整体) 的思维是黎曼的独到之处. 黎曼把全纯函数看作共形映射, 这导致了黎曼映照定理的发现. 黎曼工作的另一个特征是他的直觉推理. 也许有时缺少严格论证, 但是黎曼工作中的绝妙思想让问题更加清晰. 他的工作中很少见到冗长的计算. 比如黎曼巧妙地应用 Dirichlet 原理发现黎曼映照定理和 Riemann-Roch 定理.
数学与物理的结合在黎曼工作中处处可见. Klein [Kle2] 认为这给了黎曼极大启发:
他总是反复努力尝试给出自然界物理定律的一般的数学描述······这些物理观点是黎曼数学工作的灵感源泉.
黎曼比大多数数学家有更广的视野和哲学观. 比如他的关于几何学基础的文章包含了很大的篇幅讨论哲学. 对他而言, 重要的不仅仅是几何本身, 与自然界、时空的联系也很重要. Freudenthal [Fre] 认为:
黎曼是数学史上最深刻和最富想象力的数学家之一. 他对哲学情有独钟, 可称得上是一位哲学家. 如果他活得更长一些, 哲学家也会认可他的地位.
7. 黎曼的计算能力
从黎曼发表的文章来看, 我们会觉得黎曼是概念创新的数学家. 他的思考依赖于几何直觉, 不需要通过复杂的计算, 深刻的想法就会自然出现. 在叙述他的结果时, 他也尽量避免复杂的公式, 而是详加解释.
但是为了得到一些结果, 他其实也做过非常详细和复杂的计算. 证据之一就是哥廷根大学历史图书馆保存的他书写过的抄稿纸. 黎曼小时候就着迷于数学计算. 也许他和 Gauss 都是擅长复杂计算的高手. (参见文前的插页的图片.)
这些计算对黎曼的直觉和洞察力有重要帮助. 他可以从这些计算对问题获得更好的理解. 很遗憾, 好像还没有人仔细研究过黎曼抄稿纸中的这些计算细节.
8. 黎曼发表的文章和涵盖的课题
黎曼一生中发表的文章很少, 正式的只有 9 篇. 我们当然还可以算上他的博士论文和一篇向学术会议提交的论文. 如下是这 11 篇文章的清单:
1. Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Inauguraldissertation, Göttingen, 1851).
Foundations for a general theory of functions of a complex variable (Inaugural dissertation, Göttingen, 1851).
2. Ueber die Gesetze der Vertheilung von Spannungselectricität in ponderabeln Körpern, wenn diese nicht als vollkommene Leiter oder Nichtleiter, sondern als dem Enthalten von Spannungselectricität mit endlicher Kraft widerstrebend betrachtet werden (Amtlicher Berichtüber die 31. Versammlung deutscher Naturforscher und Aerzte zu Göttingen im September 1854).
About the laws of distribution of electric electricity in ponderable bodies, if these are not considered perfect conductors or insulators, rather than may be viewed as resisting the holding of electric charge with finite power (Official Report on the 31st meeting of German natural scientists and physicians to Göttingen in September 1854).
3. Zur Theorie der Nobili’schen Farbenringe (Annalen der Physik und Chemie, 95 (1855), 130–139).
On the theory of Nobili’s color rings (Annals of Physics and Chemistry, 95 (1855), 130–139).
4. Beiträge zur Theorie der durch die Gauss’sche Reihe F(α, β, γ, x) darstellbaren Functionen (Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 7 (1857), 3–32).
Contributions to the theory of represented by the Gaussian series F(α, β, γ, x) functions (Memoirs of the Royal Society of Sciences in Göttingen, 7 (1857), 3–32).
5. Selbstanzeige: Beiträge zur Theorie der durch die Gauss’sche Reihe F(α, β, γ, x) darstellbaren Functionen (Göttinger Nachrichten, 1857, 6–8).
Voluntary disclosure: contributions to the theory of represented by the Gaussian series F(α, β, γ, x) functions (Göttingen News, 1857, 6–8).
6. Theorie der Abel’schen Functionen (Journal für die reine und angewandte Mathematik, 54 (1857), 101–155).
Theory of Abelian functions (Crelle’s Journal, 54 (1857), 101–155).
7. Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859, 671–680).
The number of primes below a given size (Monthly reports of the Berlin Academy, November 1859, 671–680).
8. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 8 (1860), 43–65).
Concerning propagation of plane air waves of finite amplitude (Memoirs of the Royal Society of Sciences in Göttingen, 8 (1860), 43–65).
9. Selbstanzeige: Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Göttinger Nachrichten, 1859, 192–197).
Voluntary disclosure: concerning propagation of plane air waves of finite amplitude (Göttingen News, 1859, 192–197).
10. Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen Ellipsoides (Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 9 (1860), 3–36).
A contribution to the studies of the motion of a homogeneous liquid ellipsoid (Memoirs of the Royal Society of Sciences in Göttingen, 9 (1860), 3–36).
11. Ueber das Verschwinden der Theta-Functionen (Journal für die reine und angewandte Mathematik, 65 (1866), 161–172).
About the vanishing of theta functions (Crelle’s Journal, 65 (1866), 161–172).
如下是 7 篇黎曼去世后发表的文章, 来自于他的手稿和通信.
12. Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (Habilitationsschrift, 1854, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868)).
Concerning the representability of a function by a trigonometric series (Habilitationsschrift, 1854, Memoirs of the Royal Society of Sciences in Göttingen, 13 (1868)).
13. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Habilitationsschrift, 1854, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868)).
On the Hypotheses which lie at the bases of Geometry (Habilitationsschrift, 1854, Memoirs of the Royal Society of Sciences in Göttingen, 13 (1868)).
14. Ein Beitrag zur Elektrodynamik (1858, Annalen der Physik und Chemie, 131(1867), 237–243).
A contribution to electrodynamics (1858, Annals of Physics and Chemistry, 131 (1867), 237–243).
15. Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als 2nfach periodische Function von n Veränderlichen unmöglich ist (26 October 1859, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 71 (1870), 197–200).
A Proof of the proposition that a single-valued periodic function of n variables cannot be more than 2n-fold periodic (26 October 1859, Crelle’s Journal, 71 (1870), 197–200).
16. Estratto di una lettera scritta in lingua Italiana il di 21 Gennaio 1864 al Sig. Professore Enrico Betti (Annali di Matematica, 7 (Ser. 1, 1865), 281–283).
Extract from a letter written in Italian on the day January 21, 1864 to Mr. Professor Enrico Betti (Annals of Mathematics, 7 (Ser. 1, 1865), 281–283).
17. Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung (Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868)).
On the surface of least area with a given boundary (Memoirs of the Royal Society of Sciences in Göttingen, 13 (1868)).
18. Mechanik des Ohres (Aus Henle und Pfeuffer’s Zeitschrift für rationelle Medicin, dritte Reihe. Bd. 29).
Mechanics of the ear (From Henle and Pfeuffer’s magazine for rational medicine, third vol. Vol. 29).
《黎曼全集》的各个版本都包含了更多的其他学者编辑整理的有关黎曼工 作的文章或注记.
在黎曼发表的 11 篇文章中, 其中 6 篇 (1, 4, 5, 6, 7, 11) 有关数学, 另 5 篇 (2, 3, 8, 9, 10) 有关物理.
在黎曼去世后发表的文章中, 数学文章有 5 篇 (12, 13, 15, 16, 17), 只有一篇 (14) 是物理文章, 而另一篇 (18) 属于医学.
另一方面, 黎曼对许多学科都有贡献. 他所研究的每个领域都改变了其面貌 和人们的观点. 如下是他做出过重要贡献的课题:
1. 分析: 积分理论与三角级数.
2. 单复变函数论.
3. 黎曼映照定理, 黎曼面单值化及其推广.
4. 黎曼面与复流形.
5. 黎曼面模空间与相关代数簇.
6. 代数曲线与代数簇的双有理几何.
7. Riemann-Roch 定理与指标理论.
8. 曲面拓扑学与 Riemann-Hurwitz 公式.
9. 超几何函数及其推广.
10. 黎曼 zeta 函数与解析数论.
11. 黎曼几何与广义相对论.
12. 变分法, 特别是 Dirichlet 原理.
13. 偏微分方程: 激波.
14. 微分方程: Riemann-Hilbert 问题.
15. 单值群与 Riemann-Hilbert 对应.
16. 物理: 电动力学.
17. 物理: 均匀液体椭球的运动.
18. 哲学.
[Lau] 这本书包含了一些关于黎曼所创立的数学的发展, 但并未提及最新的 进展. 由于黎曼的深刻工作, 他的名字命名了许多数学名词:
1. 黎曼球面.
2. 黎曼面.
3. 黎曼模空间.
4. Cauchy-Riemann 方程.
5. 切向 Cauchy-Riemann 方程.
6. 切向 Cauchy-Riemann 复形.
7. 黎曼映照.
8. 可测黎曼映照定理.
9. 黎曼可去奇点定理或黎曼延拓定理.
10. 黎曼 theta 函数.
11. 黎曼消灭定理.
12. Riemann-Siegel theta 函数.
13. 黎曼双线性关系.
14. 黎曼形式.
15. 黎曼矩阵.
16. 关于 theta 除子的黎曼奇点定理.
17. Riemann-Hilbert 对应.
18. 黎曼 zeta 函数.
19. 黎曼 ξ 函数, 这是黎曼 zeta 函数的一种变形, 满足一个特别简单的函数 方程.
20. 黎曼假设.
21. 广义黎曼假设.
22. 大黎曼假设.
23. 黎曼用于计算素数的显式公式.
24. Riemann-Siegel 公式, 这是计算黎曼 zeta 函数近似误差的渐近公式.
25. 有关黎曼 zeta 函数零点分布的 Riemann-von Mangoldt 公式.
26. 研究黎曼假设的谱理论方法的黎曼算子.
27. 定义在有限域上的曲线的黎曼假设.
28. 黎曼积分.
29. 黎曼可积性.
30. 黎曼和.
31. 广义黎曼积分.
32. Riemann-Stieltjes 积分.
33. 黎曼多重积分.
34. Riemann-Lebesgue 引理.
35. Riemann-Liouville 积分.
36. 黎曼级数定理.
37. Riemann-Hurwitz 公式.
38. Riemann-Roch 定理.
39. 算术 Riemann-Roch 定理.
40. 光滑流形的 Riemann-Roch 定理.
41. Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch 定理.
42. Hirzebruch-Riemann-Roch 定理.
43. Zariski-Riemann 空间.
44. 黎曼几何.
45. 黎曼流形.
46. 黎曼曲率张量, 也称黎曼张量.
47. Riemann-Cartan 几何.
48. 黎曼度量.
49. 黎曼距离.
50. 流形上向量丛的黎曼丛度量.
51. 黎曼联络.
52. 黎曼体积形式.
53. 黎曼几何基本定理.
54. 黎曼和乐群.
55. 黎曼子流形.
56. 黎曼淹没.
57. 次黎曼流形.
58. 伪黎曼流形.
59. 黎曼对称空间.
60. 伪黎曼对称空间.
61. 度量集合中的黎曼圆周.
62. Riemann-Penrose 不等式.
63. Riemann-Hilbert 问题.
64. 黎曼初值问题.
65. 黎曼微分方程, 这是超几何微分方程的推广.
66. 关于紧致黎曼面分歧覆盖的黎曼存在性定理.
67. 黎曼极小曲面.
68. 守恒方程组的黎曼不变量.
69. 自由黎曼气体, 也称 primon 气体.
70. 黎曼解算子, 用于求解黎曼问题的一种数值方法.
71. 守恒方程初值解的黎曼问题.
72. Riemann-Silberstein 向量, 这是在电磁学中结合电场与磁场的一种复向量.
9. 黎曼工作概述一: 他最好的工作
黎曼对许多不同的学科做出了重要贡献. 在大多数数学家看来, 他最著名的工作是如下四个领域:
1. 黎曼几何.
2. 数论.
3. 复分析.
4. 实分析.
也许让人出乎意料的是, 在黎曼一生中, 让他成名并且最著名的工作是他关于高亏格黎曼面 (或代数函数) Jacobi 反问题的解答. 虽然黎曼的这个结果仍然重要, 但是大多数当今的数学家都不会认为这是黎曼最出色的工作. Klein [Kle2] 写道:
毫无疑问, Jabobi 最伟大的成果之一是建立了这些积分的一种反演问题, 如 同椭圆积分的简单反演那样给出了一个单值函数. 这个反演问题的解由 Weierstrass 和黎曼同时用不同方法给出. 黎曼在 1857 年发表的关于 Abel 函数理论的论文是他的天才的最伟大的成就. 事实上, 得到这个结果不需要复杂的计算, 而 是通过结合各种几何方法直接得到······ 论文的第二部分有关 theta 级数, 也许更加出色. 这里的重要结果是, Jacobi 问题的解答所需要的 theta 级数并不是一般的 theta 级数. 这就导致一个新的问题, 如何理解一般 theta 级数在我们理论中的地位.
黎曼关于 Jacobi 反演问题的解答发表在他的文章 “Abel 函数理论” (Theory of Abelian functions) 中. 这也是他的博士论文的延续. 他进一步发展了黎曼面理论及其拓扑性质. 他把多值函数看作特殊黎曼面上的单值函数, 用这些结果解决了一般的反演问题. 椭圆积分的情形之前由 Abel 和 Jacobi 解决.
黎曼博士论文的标题是 “单复变量函数一般理论基础”. 这个标题很合适, 这篇文章对于复分析学家是极为重要的文献. 他系统地应用 Cauchy-Riemann 方程, 解释了复变函数与实变函数的区别. 他引入了黎曼面, 作为全纯函数的自然的定义域, 指出了全纯函数看作共形映射的几何意义, 拓扑与分析的关联, 并提出黎曼映照定理, 给出了证明框架. 如果我们细想一下, 他的论文中所引入的新概念、新方向和新观点, 真的令人吃惊. 很难想象现代数学如果没有这些会怎样.
在黎曼发表博士论文 6 年后, 他发表了关于 Abel 函数的论文, 它立即成为公认的经典杰作. 这篇文章包含了黎曼多年的工作成果, 他在 1855—1856 年开设的 课程中介绍了其中部分结果. 当时的听众只有 Dedekind 等三人. 这篇文章包含了许多开创性的想法和结果, 比如 Riemann-Roch 定理的单边不等式, Jacobi 簇和theta 函数的基本结果, Riemann-Hurwitz 公式, 关于 Abel 积分的 Jacobi 反演问题的解 (如本节开头所述), 代数曲线的双有理几何和黎曼面 (或代数曲线) 模数的概念.
除了 Jacobi 反演问题, 这篇论文所证明的结果和提出的问题大部分直至今天仍然是数学研究的主流. 比如, 黎曼模空间是代数几何中最重要的空间. 值得一提的是, Weierstrass 发展复分析的主要动机之一是为了解决 Jacobi 反演问题. Klein [Kle, p. 263] 写道:
Weierstrass 现在有了一个值得奋斗终身的目标: 通过严格系统地发展幂级数理论 (也包括多变量), 来理解 Jacobi 提出的任意秩的超椭圆积分的反演问题, 甚至是最一般的 Abel 积分. 于是诞生了今日所称的 Weierstrass 解析函数理论, 它其实只是 Weierstrass 工作的副产品.
Klein [Kle, p. 264] 继续写道:
当 Weierstrass 在 1857 年向柏林科学院提交他关于一般 Abel 函数的首篇论文时, 黎曼研究相同问题的论文发表在 Crelle 杂志的第 54 卷上. 黎曼的论文包含了许多未知和全新的观点. Weierstrass 撤回了他的论文, 并且后来再也没有发表. Weierstrass 一定深为震惊. 1859—1860 年的冬天, Weierstrass 出现了过度劳累的迹象. 1861 年, 他完全精神崩溃······
Dirichlet 原理是黎曼博士论文和他的 Abel 函数理论中的关键工具. 这也是黎曼工作中最著名的错误. 他所用到的 Dirichlet 原理并不严格成立. 我们知道, 如果一个泛函 (或函数) 有下界, 那么极小值也许无法取到. Weierstrass 给出了 一个例子, 说明极小化函数不能由 Dirichlet 原理保证得到, 这使得人们怀疑黎曼的证明方法, 即使他的结果是正确的. 比如, Weierstrass 坚信黎曼的定理, 他让他的学生 Hermann Schwarz 去找一个关于黎曼存在性定理的不依赖 Dirichlet 原理的新证明. 他在 1867—1870 年获得了成功. 最后, 1901 年 Hilbert 修正了黎曼的方法. 他通过直接变分法给出了 Dirichlet 原理的正确形式. Hilbert 的工作补 上了黎曼的漏洞, 也对变分理论做出了重要贡献. 在人们试图严格证明黎曼定理的过程中, 对其他数学分支也产生了有益的推动, 比如, 代数几何中的许多重要 想法是 Clebsch, Gordan, Brill 和 Max Noether 等人在重证黎曼定理的尝试中获得的.
在黎曼的讲师资格论文中, 他研究了将函数表示成三角级数的问题. 为此他引入了黎曼积分, 并给出了一个函数积分存在的条件, 现在被称为黎曼可积性条件. 后来黎曼提出了一个问题:
我之前的论文证明如果一个函数满足某种性质, 那么它就可以表示成 Fourier 级数. 那么一个相反的问题是, 如果一个函数可以表示成三角级数, 那么它应该具有怎样的性质?
黎曼的问题启发了 Cantor 创立关于三角级数表示的唯一性理论, 这也导致了 Cantor 集合论的诞生.
虽然黎曼只写过很少几篇几何学的论文, 他的几何思考在所有工作中都可以见到. 在黎曼为取得讲师资格而做的就职报告 “论奠定几何学基础的假设” 中, 共有两部分. 第一部分, 他提出了如何定义 n 维空间的问题, 并引出了今天所称的黎曼空间. 这部分的主要结果是定义曲率张量. 黎曼报告的第二部分探讨如何理解几何与现实世界的联系. 比如, 他问了现实空间的维数是多少, 以及哪种几何能够描述空间.
如我们所知, 关于两个变量的函数的结果, 往往不难推广到更多个变量的函数. 从某种角度看, 黎曼关于几何学基础的论文并不那么具有原创性, 因为 Gauss 已经研究了曲面的内蕴几何. 另一方面, 除了高维的技术性困难, 比如定义黎曼曲率, 黎曼改变了人们对空间与几何的观点. 流形不一定能够嵌入到某个指定的标准外围空间. 黎曼所强调的几何与现实的关系令人耳目一新. (当黎曼研究这 一课题时, 非欧几何刚诞生不久. 黎曼改变了人们对这一新兴几何的认识.) 所有这些对数学和物理都是巨大推动, 特别是 Einstein 的广义相对论. 黎曼报告中的 哲学思考根植于黎曼的所有工作中. Klein [Kle, p. 233] 写道:
在第三段的开头部分, 黎曼提到这是他的主要工作. 所以相比他在复变函数论上的经典工作, 他自己更为看重他的自然与哲学观.
当今最著名的数学公开难题, 非黎曼猜想莫属. 其与黎曼 zeta 函数的非平凡零点分布有关. 这来自于黎曼唯一的一篇数论文章. 这篇关于 zeta 函数的文章看似孤立, 其实这符合他的数学世界. 作为柏林科学院的新当选院士, 黎曼需要报告一下他最近的研究工作. 于是黎曼写了这篇关于不大于某个数的素数个数的文章. 这是黎曼的又一篇杰作. 无论现在还是今后, 都是数论的不朽篇章. 虽然 Euler 早就考虑过 zeta 函数
黎曼考虑的是不同的问题. 他把 zeta 函数看作一个复函数而非仅仅实函数, 并从 复分析角度理解之.
10. 黎曼工作概述二: 一些不为人熟知或未知的工作
在上一节中我们列举了黎曼四个主要的工作领域,这当然远远不能涵盖黎曼的所有工作. 除了他在数学上的一些不为人熟知的工作, 黎曼在物理和哲学上的工作很少有数学家完全了解.
当然对于黎曼的工作有一个全景式的了解是很重要的.但是这超出了任何个人的能力, 虽然一些数学家曾尝试过但未能实现, 比如《黎曼全集》俄语版的编辑 B. Goncharov 和黎曼传记 [Lau] 的作者 Laugwitz. 本节作为上一节的补充, 我们讨论黎曼几项并不为人熟知的深刻工作. 当然受作者学识所限, 我们作了若干选择.
1. 在他 1857 年关于 Abel 函数的论文中, 黎曼开创了代数曲线双有理几何的研究. 黎曼考虑并解决了代数几何中的许多基本问题, 比如仿射簇与交换代数的联系. 参考 [Die].
2. 在论几何学基础的文章中, 他问道: 我们的空间究竟是离散的还是连续的. 这也许契合现代的量子几何.
3. 流形的概念在 Weyl 关于黎曼面的经典著作中首先严格定义. Weyl 受到 Klein 的启发, 后者将黎曼面看作抽象空间, 而非复平面或复球面的覆盖. Klein 似乎相信黎曼早已有了流形的抽象概念. 如前所述, 这也是 Gauss 和黎曼在几何学工作中的一个重要区别.
4. 他的关于可压缩二维介质中有限震荡水波的传播的工作引发了激波理论和双曲偏微分方程理论的诞生.
5. 在黎曼引入并计算了给定亏格的黎曼面的模数以后, 黎曼面 (或代数曲线) 的模空间成为研究的热点.
6. 理解黎曼模空间的一种途径是应用周期映射 (也称 Jacobi 映射) 把这个模空间映射到主极化Abel 簇的模空间. 关于刻画 Jacobi 簇的著名问题通常被称为 Schottky 问题. 其实黎曼在 theta 函数和 Jacobi 反演问题的过程中, 也提出过这个问题, 并研究了特殊情形.
7. 黎曼关于极小曲面的工作仍然被人们应用在最新的工作中: ℝ^3 中的每个嵌入极小平面区域必是黎曼极小曲面、悬链曲面、螺旋曲面或者平面.
8. 黎曼对电动力学做出了深刻的贡献. 我们引用 [Lau, pp. 269–270] 中的一段摘要:
······ 在 20 世纪初期的 1905 年, Einstein 和 Planck 的奠基论文还未问世. 一些杰出的物理学家就把黎曼视为自己的同行. 这可以从《数学百科全书》第 5 卷 (物理) 的第二部分的文章中清楚地看到. 第一期出版于 1904 年 6 月 16 日. R. Reiff 和 A. Sommerfeld 的文章 “远距作用的观点—— 初等定律” (第 3–62 页) 中有关于 Gauss 和黎曼的文字 (第 45 页): “Weber 是超距作用的权威, 但是径向相反趋势是由他的老师 Gauss 和学生黎曼提出的······ ” 1858 年 2 月 10 日, 黎曼提交给哥廷根科学学会一篇关于电动力学的论文, 使得他成为比Maxwell 更早的电磁学先驱. 最近的电子理论, 从某种程度上, 可以追溯到黎曼的 (迟滞) 初等位势.
事实上, 黎曼最早发现如下方程
其中 U 和 ρ 分别是位势和电荷密度. 这个方程后来也从 Maxwell 理论导出. 如果 c 等于光速, 黎曼的方程与经验吻合······
这本书还引用了黎曼自己的话 [Lau, p. 270]:
我发现电流的电动力作用可以加以解释. 前提是如果我们假设电元素的相互作用不是瞬间发生, 而是恒速传播 (忽略观察的误差约等于光速). 在这个假设下, 电力微分方程和光与热辐射的传播方程一致.
黎曼在 1858 年作了关于电动力学的演讲, 但他的文章直到他去世后的 1867 年才发表. 同时, Maxwell 在 1865 年发表他的论文 “电磁场的动力理论”. 我们也许可以问, Maxwell 是否知道黎曼的结果. 答案很可能是肯定的. 因为黎曼在物理学界的声望和他工作的哥廷根是物理的中心. Maxwell 也引用了两位哥廷根学者的工作: Weber 和Neumann. 他们都很接近黎曼.
11. 从《黎曼全集》的前言和他人的评述看黎曼工作的影响
毫无疑问黎曼的工作对数学产生了深远而广泛的影响. 如何正确理解他的工作、发展以及影响是一个有趣的问题. 俄语版《黎曼全集》的编辑在前言中写道: 这需要一个由杰出数学家组成的团队来完成.
既然《黎曼全集》已经有了多个版本, 许多学者也撰写过黎曼工作的综述. 我们希望可以从这些不同时期的文字中, 从历史角度分析比较这些学者的观点. 希望我们的努力可以带来一个副产品: 了解数学是如何发展的.
在黎曼之后的数学家中, Klein 可以看作是黎曼最好的继承者, 至少在函数论领域. Klein 至少两次详细探讨过黎曼的工作 [Kle] [Kle2].
专著 [Kle] 与数学发展有关. 其中第六章讨论黎曼和 Weierstrass 在函数论方面的工作. 他努力地刻画黎曼函数论和黎曼对于函数理论思想的发展. 另一方面, 他也给了一些有趣和不寻常的评论. 比如, Klein 写道:
黎曼对于他认为的典型理论之外的函数论没有太多重要的工作. 他不提及这些非黎曼的函数论及其应用. 比如黎曼 zeta 函数, 因为这不能真正体现黎曼的个性, 整个步骤都属于Cauchy 的函数论.
后来, 他又评论道:
一般来说, 黎曼排斥片面性. 他总是发现任何数学都是有用的. 他寻求各种方法, 来推进和澄清他的问题.
这也许说明 Klein 区别看待黎曼创立的数学和黎曼的数学. 他的文章 [Kle2] 从历史的观点强调了黎曼的工作对于数学发展的重要性.
在这两处文献中, Klein 都强调了直觉和物理经验 (例如表面流体和几何工具, 黎曼面等) 对于黎曼工作的重要性. 黎曼的工作也使人们意识到这些方法的重要性. 比如 Klein [Kle2, p. 169] 写道:
黎曼的在这方面的成果, 首先是使得位势理论在整个数学中变得重要. 其次, 在一系列的几何构造中······
接着 Klein [Kle2, p. 170] 给了一些例子:
我希望再谈一点, 黎曼从物理直觉研究数学问题所发明的新工具, 对于数学物理也有重要价值. 所以, 比如我们现在应用黎曼的方法研究二维区域中液体的稳态流. 一系列难题于是迎刃而解. 最著名的此类问题之一是 Helmholtz 解决了自由液体射流的形状问题. 也许黎曼方法的一个容易被忽视的物理应用, 其中黎曼用最优美的方式处理问题, 这就是极小曲面理论······ 毫无疑问, 函数论中这些方法的主要价值是他们在纯数学中的应用······ 代数函数的研究与代数曲线的研究相辅相成, 后者的性质被几何学家所研究, 无论是分析几何学家(认为最重要的是解析公式), 还是综合几何学家 (代表人物有 Steiner 和 von Staudt, 用点列与射线束作为主要工具). 黎曼所引入的新的观点是单值变换 (或一一对应). 这一观点使得我们可以把不可数的代数曲线归为大类. 通过研究单独曲线形状的特殊性, 得出那些属于同一类曲线的一般性质.
这一观点对于黎曼面模空间的概念非常重要. Klein 为了证明紧致黎曼面的单值化定理而详细研究了模空间. 正是由于在这个问题上与 Poincaré 的竞争, 导致了 Klein 精神崩溃. 有些令人惊讶的是, Klein 在这篇文章中没有提到黎曼模空间.
在函数论之后, Klein [Kle2, p. 175] 讨论了黎曼在微分方程上的工作:
黎曼对于复变函数论的研究, 是基于位势的偏微分方程. 他只是想把这作为一个例子, 说明所有其他的物理问题可以类似地通过偏微分方程来处理. 在每个情形, 应该了解哪些非连续性与微分方程相容, 以及方程的解在何种程度上可以从非连续性和附加条件所确定. 黎曼的这一纲领在许多方向上都取得了重要进展, 特别是近年来由法国几何学家发扬光大, 系统地重构力学和数学物理中的积分方法. 黎曼自己只用这一方法详细研究过一个问题, 就是空气中有限振幅的平面波的传播 (1860 年) ······ 黎曼的这篇文章从许多方面看都很杰出. 能够把这个问题归结为一个线性微分方程就是一个不小的成就. 另一个我希望引起大家关注的是对于问题的图形处理, 整篇报告都可见这一观点. 这种处理方式物理学家并不陌生, 但是其价值总是被习惯于抽象方法的数学家所低估. 所以我很高兴地指出, 黎曼常常应用这一方法, 并得到最有趣的结果.
关于黎曼的几何学基础的文章, Klein [Kle2, p. 177] 写道:
我不准备讨论其所得到的特殊几何结果和这一理论的后续发展. 我只想在此指出, 黎曼的基本思想又得到体现: 从无穷小行为解释事物的性质. 他也开创了微积分的新篇章, 即创立了任意变元的二次微分表达式理论, 特别地, 这种表达式在任意变换下的不变量理论.
Klein 在最后讨论了黎曼关于三角级数的文章. 其原因是 [Kle2, p. 178]:
因为这代表了黎曼想象力的一个最后的本质特征. 在所有之前的备注中, 我可以求助于物理学或者几何学当前的想法. 但是黎曼锐利的头脑不会满足于应用这些几何或物理的直觉. 他希望透彻理解这一直觉, 探讨从中得到数学结果的必要性. 这个问题类似于 “无穷小微分的基本原理”. 在黎曼的其他工作中, 他从未表达过有关这一问题的确定的观点. 而这篇三角级数的文章则与众不同.
《黎曼全集》的第一版出版于 1876 年, 正是黎曼去世 10 周年. Weber 撰写的前言没有太多评论黎曼的工作, 但提到了几个有趣而重要的事情. 比如, 黎曼关于极小曲面的文章由黎曼的学生 K. Hattendorff 作了修改, 有几处较大的改动. 这来自于 Weber 的要求. (参见文前插页的图片.)
1876年德文版第一版扉页
Dedekind 撰写的黎曼传记也来自于 Weber 的请求. 出版《黎曼全集》的一个重要原因是, 发掘黎曼未发表手稿中的宝藏. 这在今天看来依然正确. 哥廷根大学历史图书馆依然保存着上百页黎曼写过的稿纸, 其中满是复杂的计算和注记. Siegel 在 1932 年发现的Riemann-Siegel 公式告诉人们在黎曼的这些草稿中还有未发掘的宝藏.
《黎曼全集》的第二版出版于 16 年后的 1892 年. Weber 评论了黎曼的工作在 Abel 函数和线性微分方程发展中的重要性. 也许他是指 Poincaré 等人的工作. 他也提到高维流形和非欧几何.
第二版在 1898 年被翻译成法文出版, 其中包含了 Hermite 撰写的前言. Hermite 高度评价了黎曼关于 Jacobi 反演问题的解答. 他也简短地讨论了代数函数分类, 黎曼面, 黎曼zeta 函数亚纯延拓的重要性. 其他黎曼的主要文章也被提及, 包括关于激波的文章. Hermite 还解释了没有详细评述的原因. 因为要解释黎曼工作的漂亮和伟大, 它们的重要性、影响和进一步发展, 需要太多的时间来完成.
《黎曼全集》的俄语版出版于 1949 年. 其显著的独特之处是其中收录了编辑 B. Goncharov 撰写的关于黎曼成就的详细综述, 以及点评和注释. 这是一篇非常系统和综合的关于黎曼工作的介绍, 其中包含了黎曼研究工作的发源和动机, 以及随后直到 19 世纪 30 年代的发展. 所以这是一份珍贵的历史资料, 让我们了解那时人们对黎曼的评价. 比如, 关于黎曼面模空间或代数方程的只有寥寥数行文字, 没有提到这方面的重要问题. 关于黎曼 zeta 函数的讨论也没有解释黎曼猜想的重要性或者提及先前和当时的重要进展. (值得一提的是, 1930 年 Titchmarsh 出版了他的关于黎曼 zeta 函数的名著.)
《黎曼全集》的第二版在 1953 年由 Dover 公司重印出版, 加上了 Hans Lewy 撰写的新前言, 简要概述了黎曼的主要工作, 其中提到 Dirichlet 对于黎曼的影响:
黎曼的许多工作受到 Dirichlet 工作特别是他的科学观的深刻影响······ 黎曼的关于把函数表示成三角级数的工作正是追随并变革了 Dirichlet 做出重要贡献的领域. 为此Dirichlet 与黎曼有着很好的私交.
Lewy 还简单提到了其他黎曼的主要文章, 并总结这些文章 “都是至今仍对数学发展有着深刻影响的工作”. 他并未提及黎曼面模空间, 其真正的发展是在 1953年以后.
《黎曼全集》的一个更加全面的版本由 Springer 出版社在 1990 年出版. 其中包含了Narasimhan 的系统介绍黎曼主要工作的长序言. 我们引用其中几段:
1. 看起来黎曼不仅预言了 Hardy 和 Littlewood 关于 ζ 函数的最重要的发现之一, 即近似函数方程, 而且在 60 年前就得到了更好的结果. 2. 黎曼为了研究函数的三角级数表示而引入的方法比其所得到的结果更有影响. 3. 黎曼坚持认为解析表达式只代表了函数的一小部分. 它的真正本质需要考虑奇点的性质和位置, 以及这个带奇点的函数所必须依赖的任意常数.
如今我们对黎曼模空间有很好的理解. 这个序言也讨论了黎曼模空间和 Teichmüller 空间.
《黎曼全集》第二版中的大多数文章被翻译成英文由 Kendrick 出版社在 2004 年出版. 编辑 Roger Baker (他也是《黎曼全集》的三位翻译者之一) 撰写了前言和一篇关于英文版中文章的简短摘要. 这个前言很简短, 包含了关于黎曼与 Gauss, Weierstrass 和Dedekind 工作的定量比较. 其中的一些宝贵建议值得一读.
Freudenthal [Fre] 的黎曼传记很系统. 正如他指出的那样:
黎曼的风格受到哲学的影响, 包含了生涩难懂的德语语法. 不会德语的读者会很困扰. 关于黎曼工作的完整的介绍几乎没有. 只有一些肤浅的或者狂热的鼓吹文章.
这也许是因为他受到 Klein 的黎曼传记影响.
Freudenthal 强调了黎曼对于刻画全纯函数的Cauchy-Riemann 方程的欣赏. 他给了如下有趣的断言:
1. 黎曼很可能知道抽象黎曼面是具有复结构的代数簇.
2. 在黎曼的文章中零星可见一些关于高维同调的清晰想法. 其严格定义后来由 Betti 和Poincaré 给出.
3. 自从黎曼应用 Dirichlet 原理解决 Laplace 算子的边值问题以后, 人们就经常称之为Dirichlet 问题. 这完全没有道理.
4. 所有黎曼的精髓, 除了有关Dirichlet 原理的方法, 几乎都被淡忘. Theta 函数虽是热门, 但其研究并未遵循黎曼的精神. 黎曼的结果产生了巨大的影响, 但他的思考方式却鲜有追随者. 甚至解析函数的 Cauchy-Riemann 定义也被放弃, Weierstrass 的幂级数定义成为主流.
5. Klein 是最早尝试复兴黎曼的复变函数几何方法的数学家. 不久, 由于 Poincaré 和Klein 的工作, 函数论的发展出现转机, 突破了黎曼的观点, 甚至否定黎曼最深刻的工作. 他们的工作导致自守函数理论的出现. Freudenthal 写道:
这个看似简单而显然的想法使得 Jacobi 反演问题和黎曼的解答成为过眼烟云. 虽然黎曼的创新观点无处不在, 但还是过于盲从传统. 不过, 单值化和自守函数可以看作是 20 世纪黎曼函数论大获成功的萌芽. 略有讽刺的是, 虽然本质上这遵循了黎曼的精神, 但还是更替甚至对立于黎曼的思想.
6. 如果要说黎曼有哪篇文章带给他与 Abel 函数论的文章同等的声望, 那就是他关于黎曼 zeta函数的工作.
7. 黎曼对数学物理或者微分方程最重要的贡献是他发表于 1860 年的关于激波的文章.
8. 在他的关于几何学基础的文章中, 数学讨论多于哲学, 不过还是对许多人的空间哲学观产生了巨大影响. 这篇文章的主要内容是用度量张量的高阶导数定义曲率. Gauss 在研究曲面时引入了曲率的概念, 并且指出曲率可以用曲面内蕴定义, 而非依赖于外围空间. 不过在 Gauss 的文章中这个绝妙思想被一大堆公式所淹没.
9. 广义相对论推动了微分几何加速发展, 虽然也许更多的是量变而非质变. Freudenthal 在文章结尾引用了如下 Carl Neumann 的话, 他还评论说: “也许其中隐藏了更多我们无法捉摸的智慧.”
关于几何在无限小的假定得以成立是因为度量的内在原因. 在这个问题中, 我们应该看到对离散流形而言, 度量的原理包含在流形的概念中, 而对连续流形则并非如此. 所以, 或者空间存在的实体是一个离散流形, 或者度量应该从外在发掘, 比如作用于其上的力.
12. 从杰出数学家们的原则来看历史上最伟大的数学家
在 §2 和 §3 中, 我们引用了许多杰出数学家对于什么是好的数学的观点. 这一节, 我们用这些观点来看待黎曼的工作.
数学家 Fields 把数学家分为五类, 并且给出了切实的原则. 我们从他的原则开始. 黎曼确实满足 Fields 关于第一类数学家的所有条件: “在第一类中, 包括了那些拥有永恒创造力的绝世天才, 能够不断攻克基本的难题, 变革现有领域, 开创新方向······ ” 于是, Fields [Rie, p. 40] 写道:
上一代德国, 拥有两位第一类数学家, 黎曼和 Weierstrass. 一位第一类数学家对于年轻数学家的影响超过所有其他类别数学家的总和.
如果读者从本文开头不间断地读到这里, 那么也许你早已忘记 §2 和 §3 的内容. 我们建议你可以再读一遍 §2 和 §3, 同时与黎曼的工作相比较. 毫无疑问, 黎曼的工作在所有这些标准之上. 为了方便读者, 我会重述部分如上讨论的 “什么是好的数学”, 同时增添对黎曼工作的注解.
Borel 认为数学 “是一门科学, 因为它的主要目标是服务于自然科学和技术. 这实际上是数学的起源, 也是数学问题永不枯竭的源泉. 另一方面, 它又是一门艺术, 因为它主要是思想创造的产物, 它的进步是人类智慧的胜利, 来自人类思想的深入发展, 审美原则是最终的评价标准.”
这两方面是关联的, Borel 继续写道: “但这种在纯思想世界中的智力活动也 需受制于其在自然科学中的应用.”
von Neumann 写道: “数学至关重要的特征是, 它与自然科学的特殊关系. 或者更一般地, 与任何不是泛泛而谈的科学的关系.”
黎曼同时是数学家、物理学家和哲学家. 不仅他研究的问题, 而且他的解法启发自物理和自然科学中的应用. 最著名的例子是他应用 Dirichlet 原理. 他研究的数学既优雅又有着持久的影响. (值得一提的是, 只有简单的事物才能被他人理解并铭记.)
问题是数学的中心. Atiyah 曾说: “一个‘好’问题的真正标准是人们在解决它的过程中能够产生具有广泛用途的强有力的新技术.”
黎曼在关于 Abel 函数的经典文章中给出 Jacobi 反演问题的解答, 这是黎曼的成名之作. 但是这篇文章中引入的新概念和新方法超越了这个问题, 并影响至今.
Borel 曾说: “数学家的天赋之一就是能够自然地被好的问题所吸引. 也就是那些后来显示出重要性的问题, 即使当时不受重视.”
黎曼开创性地提出了黎曼映照定理, 后来被推广成为黎曼面的单值化定理, 这是数学中最伟大的定理之一.
Atiyah 写道: “数学的精髓在很大程度上是一门将非常零散的事物拼接起来的艺术.”
用这句话来形容黎曼所有的工作和他独立的每篇文章再合适不过了.
Atiyah 也说过: “真正的先驱是那些特立独行、相信自己不需要追随前人的工作的人. 他们全新启航, 秉持完全创新的观点. 数学中真正全新的发现和新创的领域大都来自于这些先驱的工作.”
黎曼的大多数文章带有他的独特观点, 改变了前人的看法. 他开创了新领域、新方向和新问题, 吸引人们投身其中.
Atiyah 曾说: “如果你希望数学继续前行, 那么优雅是一个重要的标准. 如果想让别人理解证明的主旨, 那么就必须做到简单而优雅.”
黎曼往往以简洁和优雅的方式提出他的问题和结果. 比如他关于超几何函数的工作. 正如 Borel 所说: “数学很大程度上是一门艺术, 它的发展受到美学标准的推动、引导和审视.”
Atiyah 认为核心的数学 “也就是那些来自于现实物理世界和数学自身与数 和解方程相关的问题”.
如同 Gauss, 黎曼既是数学家也是物理学家, 他对数论和几何学作出了深刻的贡献. Klein 认为物理学应用给了黎曼无穷的灵感.
下面我们用伟大数学家的原则来讨论黎曼. 如 Grothendieck 和 Atiyah 所说, 时间是最好的检验. 相信大多数人都会同意这个看法. 黎曼无疑已经通过了这个终极的检验. 即使他去世已经 150 年, 他的工作仍然充满现代感, 不失新鲜, 许多被反复研究至今.
Atiyah 也说: “另一个观点, 即评价应该基于对于整个数学的影响.”
我们只需要参看 §8 中列举的以黎曼名字命名的数学名词. 很难找到一个数学领域没有受到黎曼工作的影响. 黎曼改变了我们对数学的认识和整个数学的进程.
Atiyah 继续道: “而且, 这一原则也能够加强数学的统一, 避免各自为政.”
黎曼工作的主题和观点既包括黎曼面、Dirichlet 原理这些几何对象, 也有物理学的考虑.
Thurston 认为, 在他看来“形式化格局”是最贴切的数学定义. Hardy 也比较数学和诗人画家等其他模式制造者, 得出结论: “如果数学家创造的‘模式’更加久远, 那是因为它们是思想的发明.”
黎曼希望理解整个世界的运行模式. 我们可以引用黎曼的原话 [Kle, p. 233]:
我的主要工作与自然界定律的新概念有关, 它们由其他基本概念所表达. 我们可以通过热、光、磁与电相互作用的实验数据来研究它们之间的联系.
Gelfand 说过: “真正好的数学工作其实总是充满漂亮、简洁、精确和疯狂的思想.”
从他的许多文章中, 我们都可以看出黎曼工作的漂亮和简洁. 也许他提出了一个疯狂的想法, 即我们的现实空间是离散的. 这还有待量子几何的检验.
Mac Lane 说: “我们大多数人只在讨论班和会议上和我们的同领域的学者 交谈.”
在黎曼 1854 年关于几何学基础的试讲中, 他把深刻的思想用简单的语言加以描述, 使得非数学家亦能理解一二. 许多人认为他的这篇文章无论从内容还是文笔都堪称杰作.
Mac Lane 还说: “过去至少有一些数学家了解整个学科的概貌, 能够对未来走向提出展望. 他们不局限于自己工作的领域.”
黎曼显然是其中的代表.
Mac Lane 总结道: “数学的进步应该由所理解的新思想来衡量, 而不是出版物的数量.”
这也契合黎曼. Gauss 的名言是 “不多但是成熟”.
Arnold 曾说: “数学最惊人和振奋人心的特征是它的各个不同的领域之间往 往存在着神秘的联系. 过去一个世纪的经验表明, 数学的发展并非由于技术上的进步, 而是由于通过这些努力发现了不同领域间意想不到的联系.”
Connes 也说: “真正有趣的事情是, 非常不同的领域之间出现了意想不到的联系.”
这也正是黎曼工作的写照.
Arnold 继续说: “错误是数学重要和具有启发性的一部分.”
黎曼关于 Dirichlet 原理的并非完全严格的应用被 Weierstrass 指出是他的一个主要的错误. 这也影响了黎曼函数论的广为接受. 但是 Hilbert 修正了其中的错误, 并促进了变分法的发展.
Atiyah 说过: “这些巨大的飞跃往往由于引入了全新的概念, 导致完全不同的观点.”
这又是黎曼的写照. 他引入了 Cauchy-Riemann 方程、黎曼面和模空间等全新的概念.
Atiyah 说: “数学的使命是把思想从一个领域通过抽象化传递到另一个领域. 进一步, 数学研究的终极意义在于它的整体统一性. 这解释了当今一些关键领域的统治地位, 比如群论 (研究对称性)、拓扑 (研究连续性) 和概率 (研究随机事件).”
这也诠释了黎曼工作的另一个标志. 黎曼是拓扑学的创始人 (Betti 数, 覆盖空间), 他将函数视为映射或变换, 率先考虑一族而非单个黎曼面的模空间. 他关于黎曼映照定理的工作启发了 Poincaré 和 Klein 后来通过黎曼面单值化的关于离散群的工作. 最近关于黎曼 zeta 函数零点的研究要用到很多概率论和对称性. 黎曼关于超几何函数的工作首次引入了单值群的概念, 后来被 Fuchs 系统研究, 也激发了 Poincaré 的工作和 Fuchs 群的概念.
Atiyah 继续道: “新概念可以帮助统一过去的工作并为未来发展扫清障碍. 所以它们是数学发展必不可少的组成部分. 从长远来看, 它们与解决难题或者发展新的技巧同等重要.”
Gowers 曾说: “数学家可以分为理论型和解题型.” Atiyah 也说过类似的话:
数学家有时候可以分类为 “解题者” 和 “理论家”. 确实在一些极端情形这种区分非常明显, 比如 Erdös 和 Grothendieck. 但是大多数学家介于两者之间.
黎曼既是 “解题者” 又是 “理论家”. 但是他并非仅此而已. 通常他不解决他人的问题, 或是将他人的工作总结为理论. 他自己开辟新的方向和课题, 改变人们的思考方式. 这吸引了众多追随者忙于研究他的理论.
Halmos 写道: “对于数学成果质量的评判, 所基于的原则远高于正确性, 但是又很难描述. 数学工作崇尚美妙, 复杂, 简洁, 优雅, 追求满足感和相称性, 看起来都很主观, 但都被广为认可. 要成为数学家, 我们需要有天赋、洞察力、专注 度、品位、运气、动力和想象力.”
黎曼完全经得起这些检验. 与其他伟大的数学家 (比如他的朋友 Eisenstein) 相比, 他在数学上起步稍晚. 他刚进大学时并未选择数学专业.
Dyson 认为 “一些数学家是鸟, 而另一些是青蛙.”
黎曼兼而有之. 通过详细和复杂的计算, 他拥有宏大的视野. 他也能处理具体的例子和特殊的情形.
Dyson 引用黎曼举例: “数学中最深刻的概念能够将一个领域与另一个领域联系起来. 在 17 世纪, Descartes 通过他的坐标系将代数与几何相联系. 牛顿通过他的微积分将几何与动力学相联系. 在 19 世纪, Boole 通过符号逻辑将逻辑学和代数联系起来. 黎曼通过他引入的黎曼曲面将几何与分析联系起来.”
Dehn 也以黎曼为例: “另一方面, 最美的花环应该属于那个将思想从黑暗中提炼出来、并加以完善的人. 即使由于环境的局限, 他无法继续推进他的影响. 当然数学家的创造力并不仅限于他们的学科. 我们看到 Cardano 的例子. 还有黎曼的前瞻性贡献等带来的变革. 现在拓扑文章随处可见, 但是说到基本性的问题, 严格说并未超越 Poincaré 或黎曼.”
Dyson 写道: “解决难题可以让你获奖, 但是开启了新纲领的人物才是真正的先驱.”
黎曼从未获得任何奖项. 他提交给法国科学院的关于热分布的参赛文章并未获奖. 他的生活充满苦难, 只享受了很少几年平静的生活. 解决 Jacobi 反演问题使他一举成名. 这个问题的解现在看来并不重要, 但是他引入的新观点对于数学产生深远的影响. 毫无疑问黎曼是一位先驱. 所以黎曼是 Dyson 论断的合适注记.
上面提到的黎曼的工作与许多人关于数学评价标准的比较表明, 黎曼超越了许多人的期望. 他创造新课题, 新问题, 新文化, 改变了人们的思维方式和观点. 他对数学的贡献和影响是全局性的. 所以无论用何标准来看, 黎曼都是一位伟大的数学家.
接下来一个自然的问题是, 什么是黎曼工作的真正特殊之处? 也许 Klein [Kle2, p. 166] 的话是好的总结:
黎曼的工作对于过去和今天的影响完全由于他的原创性和对于数学的洞察力.
关于如何看待数学的进展, Atiyah [At1, p. 37] 写道:
回顾我罗列的这些标准, 我觉得也许我还没有足够强调质量的首要性. 最好的例子是黎曼, 他的论文集浅浅一卷, 但是他也许是有史以来最具影响力的数学家. 他的许多文章开辟了崭新的领域, 即使在他去世后 100 年仍然充满活力. 最著名的是他奠定了高维微分几何的基础, 为 Einstein 广义相对论提供了必要的框架.
在结束本节之前, 我们需要回答标题中的论断, 为何黎曼是伟大的数学家? 一方面, 很难说谁是历史上最伟大的数学家. 另一方面, Klein [Kle, p. 231] 饶有兴致地比较了黎曼和他同时代的数学家:
黎曼拥有卓越的直觉. 他全面的天赋令他超越了所有同时代的数学家. 他的兴趣所至, 新辟课题, 不被传统左右, 不受制于系统化. Weierstrass 是一位逻辑大师. 他进展缓慢而系统, 步步为营. 他所涉及的领域, 都力争完美. 我们可以如此形容他们的外在表现. 在安静的准备后, 黎曼如同测光表一样出现, 很快便熄灭了······ Weierstrass 则可以缓慢地操作和生效······ 而且黎曼的兴趣比 Abel 更广, 后者只对纯数学感兴趣, 而黎曼的兴趣包含数学物理, 对自然界充满心理触觉的哲学解释······ 英文版《黎曼全集》的编辑 Roger Baker 在前言中比较了黎曼和其他伟大数学家: 黎曼······ 是当代最伟大的数学家之一. ······ 他比同时代的数学家更具 影响, 为了寻找支持这一论断的数据, 我翻阅了 J.-P. Pier 编辑的《数学的发展 1900—1950》. 黎曼在索引中提到的次数等于 Gauss, Weierstrass 和 Dedekind 这些数学家的总和.
13. 阅读《黎曼全集》的收获
阅读古老的数学书籍和文章并不容易, 要理解黎曼的精炼写就的文章更是如此. 一个自然的问题是, 我们可以从黎曼的文集中得到怎样的收获?
考虑到当前数学的过度专业化, 黎曼可看作是全才数学家的例子. 他超越了数学, 应用数学, 自然科学甚至哲学的界限. 他说明这种统一是有益和必要的, 同样重要的是要时时回到数学的本源. 读者可以通过阅读黎曼自己的文章, 而不是后人的解释性文章, 直接看到和感受到黎曼数学的精髓.
是的, 黎曼的文章很浓缩, 通常即使专家也很难读懂. 另一方面, 他的文章的某些部分很直接和透彻. 他能够很快有效地直达问题的本质. 比如他的第一篇文章, 也是他的博士论文的头几页.
黎曼工作的宝藏某种意义上可与《圣经》相比. (黎曼是很虔诚的, 他可能会拒绝这种比较.) 圣经中有许多的注释. 为了理解《圣经》的精神, 除了参加布道, 阅读《圣经》原文 (而非翻译) 也是必不可少的, 没有其他的捷径可走.
类似地, 黎曼工作中也有各种注释. 比如有一些已经包含在本卷中, 今后一定还会有更多解释黎曼工作的文章面世. (参阅 [Lau] [Mon] 中的参考文献.) 但是阅读黎曼的原作仍然是必需的.
除了学习黎曼的工作, 我们也可以学习如何思考数学, 如何在更大的科学背景下看待数学. 读者能够近距离感受到什么是真正好的数学, 黎曼的工作无疑是一个标杆.
Klein [Kle2, pp. 179–180] 在 1895 年所说的这段话仍然很有启发性:
数学从未停顿, 如同自然科学, 数学依然充满活力. 一个一般的定律是, 虽然许多人对科学的发展做出过贡献, 但是真正创新的突破却可以追溯到很少几位杰出的精英. 这些精英的工作绝不局限于他们短暂的一生. 随着他们的思想被后人更好理解, 他们的影响也会与日俱增. 黎曼就是一个突出的例子. 由于这个原因, 请不要把我的评论看作是对过去的回顾 (这是我们带着敬意的回忆), 而应该看作当今数学的动景.
也许阅读《黎曼全集》的最好的原因是, 手握这样一位伟大而独一无二的数学家的文集必会感到愉悦. 你可以呼吸和感受到他的精神.
黎曼的工作至今充满活力, 并将继续激励后来者. 希望你能够从阅读这本不 朽的黎曼的文集中受益!
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大道至简——讲述一个我们应知而未知的黎曼（《黎曼全集》(两卷本) 中文版序）（黎曼全集（第一卷））书评