我们为什么要学数学（西方文化中的数学）书评
如今，互联网上似乎存在着两种对待数学的截然不同的态度。一种认为数学在生活中的实用性有限，只能用来计算买菜时的价格。另一种认为数学的用处极大，知乎上有一个提问：如何评价微博上的“数学滚出高考”这一话题，底下的答主纷纷举出数学有用的论证和例子。
这两种观点，尽管差异很大，但是其实都建立在一个默认的基础上——他们都认为数学是一门实用性极强的学科。是否有必要了解数学，取决于它是否有利于日常生活和工作。
那么真的是这样吗？即使不考虑数学的实用性，我们也应当了解数学，它是帮助我们理解现代社会诸多现象的一把钥匙。
在《西方文化中的数学》这本书中，M·克莱因用历史方法研究数学的发展。他认为，数学一直是一种主要的文化力量，是一种理性的精神。正是这种精神，激发、鼓舞人类的思维，亦正是这种精神，决定性地影响人类社会的物质、文化生活。毫不夸张地说，这是一门关于人的本性的科学，因为它试图回答人类主体性的问题，尽力探求和确立已获得知识的最深刻最完美的内涵。
的确，这种思想与当今的数学教育背道而驰。我们的数学教育，继承自苏联，重技算轻理论，从幼儿园的“珠心算”到考研的各种偏题难题，处处体现了功利实用倾向和计算技能崇拜。这一朵偏见的乌云遮蔽了数学的本质精神，带来了三个重要的后果。
第一，不管怎么提高数学在基础教育中的重要性，国民的科学精神和思维能力依然令人失望；第二，中学教育和大学教育脱节严重，这一点主要体现在科研层次上，数学教育上没有多少改变，考研的题目也都是“死气沉沉”的计算题。我们成建制地生产一批又一批的奥赛选手，在奥赛（IMO）里战无不胜攻无不克，但是在高端研究领域很难取得突破性进展；第三，没有多少人能静下心来做数学研究，我认识的几个本科数学专业的同学纷纷转了大金融方向，而有志向把数学研究作为自己毕生发展的都选择了出国深造。
那么是否有可能，通过重新审视数学的起源与发展，把数学当作我们社会的一种基本文化活动，进而解决这些重要问题呢？当我们开始把数学建立在个人主体性构建的框架上，把数学当作一门语言、一种逻辑思维方式，我们或许能够触及数学的本质和灵魂。
数学的发展历程——超越
数学的发展，是一个不断自我超越的历程。它从一种纯粹的经验法则，发展成科学推理的支柱，如今已是一个庞然大物。它决定了大部分哲学思想的研究方法，摧毁了中世纪的基督教教义，为政治和经济学说提供理论依据，塑造了绘画、音乐、建筑的艺术风格。
数学作为经验法则
对于埃及和巴比伦文明 ，数学是一种生活技艺。希罗多德曾记录，埃及法老将土地分封给埃及人，所有埃及人根据自己土地的面积纳税。土地面积的测量精度，决定了税收的数量，几何学正是诞生于这种对土地面积精确测量的需求之中。
生活中的实际需要，促使古埃及人和古巴比伦人创立了数学，他们为数学积累了大量的公式和基本技巧。不过，这些数学知识都是通过经验获得的，被用于解决实际问题。它们既没有得到证明，也没有整理成为完整的数学知识体系。
金字塔需要一定的数学知识，但更重要的是工程管理
数学的第一次超越——和哲学、艺术结合
对于希腊文明，数学是美的艺术，它和哲学紧密相连。
希腊人重构了数学，数学的第一次超越到来了。他们抛弃了通过经验、归纳等方式获得的所有数学公式与规则，将演绎推理作为数学证明的唯一方式。欧几里得在《几何原本》中创立了一套公理系统，通过严格的演绎法推出定理，他创立了几何学。从此以后，数学从农夫的量尺中解放出来了，成为了人的一种思想体系。人们开始运用理性做出判断，理性的美和条理性开始显现。
希腊人还将数学抽象化了，他们从经验、直觉出发，例如，把拉直的绳子定义为线段，从而把物质实体从数学概念中剥除，这就使得数学获得了一般性的优点。获得了一般性的数学，超越了单一领域的限制。以前，数学不过是推动其他领域进步的工具，现在它成为了一门跨学科的艺术。
在希腊文化中，很难把理性因素与美学因素、道德因素分开。希腊风格的实质是简练、清晰和严谨，因为数学独特的逻辑思维方式启发了希腊哲学、建筑、文学的创作。
数学从物质世界上升到理念世界，这正契合了柏拉图的哲学主张
数学的第二次超越——和科学结合
数学的第二次超越，在中世纪末期姗姗来迟。如果说欧几里得的几何学，还残留经验和直觉的影响，那么牛顿的天文学，就已经抛弃了感官的证实，因为我们无法感受地球的自转和公转。
我们对宇宙空间的感知，来源于间接经验
此时的数学研究，目的是通过发现自然界的数学关系，来揭示上帝创造世界的伟大。然而讽刺的是，数学家的工作，却摧毁了宗教的基础，促成了思想的解放。
伽利略的数学研究方法，进一步奠定了近代科学的基础。不管是古希腊还是中世纪，科学家们都致力于解释自然现象发生的原因。问为什么，是人的天性，不过寻求确切的答案，有时候很没有效率（亚里士多德花费了大量时间试图解释为什么扔向空中的物体会落回地面），有时候无法直接获得（社会学中需要运用统计学的测量结果推导社会的运行机制）
伽利略意识到了这一点，他用数学公式的推理代替旧的研究方法。首先，他从现象中推导出一般的运动原理；其次，把原理中的基本性质推广到所有物质实体；最后，关于现象的定量描述取代了对现象的定性解释。
让我们看看牛顿是如何运用这一思想的。
首先，根据生活中的自然现象，牛顿猜测地球对地面上物体的作用，和地球对月球的作用，能够用同一个公式描述，他把这个作用力定义为“万有引力”。经过一系列运算，他计算发现一个物体对另一个物体的引力，取决于这两个物体中心距离的平方，而且引力随距离的增加而减少。月球在轨道上运动的向心加速度与地面的重力加速度比值，符合他的计算结果。这证明了两种作用力是相同的，它们遵循着同一种定律——万有引力定律。
F是引力，M.m是两个物体的质量，r是两者之间的距离，G是常数
他的下一步工作是把万有引力定律推广到所有物质和运动上。他证明了所有自由落体运动都以相同的加速度下落（a=kM/r^2)，验证了开普勒三定律的正确性，计算出了地球和太阳的质量。牛顿最终确信，所有的自然现象都可以从运动定律和引力定律中推导出来。
可以看到，牛顿定义了“万有引力”，却没有讨论引力的物理本质。相反，他给出了引力的定量公式，测量了物质的惯性和引力的性质。通过这种研究方法，他取得了比定性分析大得多的成就。
此后，莱布尼茨、傅立叶、麦克斯韦等伟大的科学家沿着定量分析的方向，在微积分、音乐、光电等领域都留下了科学数学化的痕迹。
何为数学？
在讨论数学的发展历程后，我们不禁要问，到底什么才是数学？关于数学的定义，似乎是不辩自明的，数学是一个真理体系，数学的真理性通过以下三个步骤建立：第一，寻求不可置疑的、绝对真实的公理；第二，通过严谨的演绎推理推导出定理；第三，将理论应用到现实世界加以佐证。
这三个步骤看起来无懈可击，几千年来数学正是通过这个方法建立起了宏伟的理论大厦。不过，如今这个大厦摇摇欲坠。19世纪的非欧几何，20世纪的哥德尔不完备性定理，一次次地冲击数学的真理性。
问题究竟出在哪儿？其实，数学的定义从第一个步骤开始就是错误的，“错误的”公理推出的也是“错误的”定理。那些基本的概念，例如直线、整数和几何，最早都是建立在直觉经验而非逻辑上，这些概念一开始能够正确地反映客观实在，不过随着人类物理空间的扩大和思想的进步，它们的局限暴露了。
数学，与自然界的法则不同，它是主观构造的产物，按照克莱因的说法，“数学不是建立在客观现实基础上的一座钢筋结构，而是人在思想领域中进行特别探索时，与人的玄想连在一起的蜘蛛网”，因此必须要把数学知识和真理区分开来。
既然数学不具有真理性，为什么人们能通过数学构造出那些宏伟的工程呢？因为，一个理论的应用，与其真理性没有关系。它之所以还能够应用于现实，是因为它能够为大部分实际问题拟合出一个很好的结果。在现实面前，这个理论只是一个比较实用的假设，它是在人类不断修正中发展起来的。
这正是数学的第三次超越，数学真理性的丧失，使数学陷入本体论的危机。围绕着数学的基本问题，诞生了三大数学哲学流派：逻辑主义、形式主义和直觉主义。数学摆脱了与现实的紧密联系，这给予了数学极大的自由，不过这又是另外一个故事了。