几何基础与文学的基础

在公元前300年，欧几里得的《几何原本》被称为经典中的经典，它将数学缩小为几何学，将几何学缩减为5条公设：

1. 两点之间能作一线。

2.任意线段能无限延伸成一条直线。

3.对于任意点和线段，可以以点为圆心，线段为半径作一个圆。

4.所有的直角都相等。

5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

1899年，大卫·希尔伯特的现代经典《几何基础》提炼了欧几里得的阐述，引入了一个令人信服的系统。这个系统包含20多条公理，它们被分为5组，分别为关联公理、次序公理、合同公理、连续公理和平行公理。

例如，关联公理确认“两点之间能作且只能作一条经过它们的直线”“每条直线上至少有两点”“至少存在不在同一直线上的三个点”。而根据次序公理人们可以推断出“两点之间永远存在无数的其他点”。

这样看来，平行公理相当于欧几里得的第五公设，认定“经过直线外一点有且只有一条与该直线平行的直线”。

希尔伯特的公理化是纯粹形式上的，并没有对点、线、面进行定义。人们可以用任意概念替换它们的位置，只要它们可以满足公理所阐述的属性，就自动满足了定理所阐述的属性。

一天，希尔伯特用一种令人难忘的方式解释了这一问题。当时他正与共同参加在哈雷举行的一场几何学研讨会的同事们一起，坐在柏林机场的小餐吧里等待回柯尼斯堡的火车。那时他恰恰谈到，即使用“桌子、椅子和啤酒杯”来代替点、线和面，几何学定理依然是成立的。

1976年，雷蒙·格诺出版了《后大卫·希尔伯特时代的文学基础》。这是一部自相矛盾的作品，提出了文学的公理化，并通过用“词、句子和段落”替换点、线、面这些几何概念来实现这种公理化。

对于欧几里得的前两条公设和希尔伯特的关联公理而言，这个目标很容易实现。首先，我们可以知道“对于每一对单词，有且只有一个句子可以同时使用它们”。用两个单词显然是可以造出一个句子的，格诺在这里使用了（意大利语的）定冠词“la”和乐谱“la”，句子是“小提琴手把乐谱交给歌手”（la violinista dà il la al cantante）。但令人惊讶的是这样的句子只存在一个！

比如，如果人们以“支流”和“湖泊”为例，一旦写出含有两者的句子，比如“科莫湖的那条支流”，那么所有其他的句子，像“加尔达湖的那条支流”，或是“科莫湖的这条支流”，就只是伪句子而已，会被公理排除在外。万幸的是，人们绝不会两次写出《约婚夫妇》（I promessi sposi）！

接下来的公理认定“每个句子上至少有两个单词。至少存在不在同一句子中的三个单词”。当然，这句表述只是一个变化句，而不是真正的句子，否则就违背了之前那条公理，即“两个不同的句子中不可能包含相同的单词”：在这两句不同的公理表述中，刚好重复了“句子”和“单词”两个词。

根据再之后的两条公理，一方面，像“是”（Sì）、“不是”（No）、“天晓得”（Mah）、“谁知道”（Boh）、“天啊”（Dio）这类的表述都不是句子；另一方面，曼佐尼不断尝试着写下能囊括所有意大利语词汇的句子，最终却宣告失败，这并不是因为句子长度不允许，而是因为从公理来看，这件事根本不可能完成。

直观来看，每一个句子，即便是曼佐尼的，似乎只能含有有限数量的单词。但根据次序公理，人们会惊讶地发现“两个单词之间永远有无数的其他单词”。格诺用严格的几何学方式来解决明显的悖论。他从陈旧的投影几何学获得灵感，给出有关“无限词汇”的建议。

其解决方案是，对于一个根据公理应该拥有无限单词的句子，其中的某些单词本身便是无限延伸的，我们在近距离审视它们时，根本没法将它们读出来。这就导致了文学投影暗区的形成。它并不是文学家的无能之结果，而应归罪于文本所表述的，总是比它们本来能够或本应表述的内容少了太多。

最后，关于平行公理，则变成“对于某个句子之外的一个单词，有且只有一个包含该单词的句子与前句没有任何单词重合”。举例来讲，我们从《神曲》第一歌中提出一个句子“走过我们人生的半途，我误入一片幽暗的森林”，以及一个单词“痛苦”。

句子“这并不及死亡那般痛苦”是满足公理要求的。它不包含任何前句中的单词。而在第一歌中也没有其他包含“痛苦”的句子。其他章节不能作数，因为就像一条线和线外的一点决定了唯一的平面，一个句子和它不曾包含的一个单词只能构成唯一的章节。

截至目前，我们所做的仅限于直线的文学转换，它们是可以用一级代数方程来表示的几何实体。格诺将他的分析总结为：如果过渡到二级方程和圆锥曲线，就不存在转换的必要了，因为这就直接进入了修辞学之王国：

省略、夸张和比喻于作者而言都不陌生，但在我们的时代省略已非常罕见，比喻已经不再使用（大约已有2000年），而夸张却是当今正在流通的货币。